-1-
一、多重選擇題：
(地 1、2 題每題 7 分，地 3、4、5 題每題 10 分，共 44 分，每錯一
個選項扣 2 分，扣到該題 0 分為止，整題未作答不給分。)
1. 如圖，已知直角
ABC
三邊
5
3
4
BC
CA
AB
=
=
=
、
、
，若點
D
、
E
、
F
、
G
在線段
BC
上且
BD DE EF
FG GC
=
=
=
=
，則下
列選項中的內積值和者最大 ?
(
A
)
AB AC
⋅
(
B
)
AB AD
⋅
(
C) AB AE
⋅
(
D) AB AF
⋅
(
E)
AB AG
⋅
2.
設坐標平面上三點
A、B、C，且
{
|
0
4
2
1
S
P AP r AB s AC
r
s
=
=
+
≤ ≤
− ≤ ≤
，
，
，
}
1
2
r s
− ≤ + ≤
，若點集合
S 的圖形所表區域之面積為
ABC
面積的
k 倍，則 k 之值是多
少?
(
A) 9 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 24
二、多選題：
(
每題
5
分，共
30
分，答錯
1
個選項得
4
分，答錯
2
個選項得
3
分，答錯
3
個選項得
2
分，答錯
4
個選項得
1
分，全錯得
0
分
)
1.
設坐標平面上
O 為原點，已知點 A 在第一象限，點 B 在 y 軸的正向上，點 C 在第二象限，
點
D 在第三象限，則下列選項中的敘述哪些是必定成立的?
(
A)
0
OA OC
⋅
<
(
B)
0
OA OD
⋅
<
(
C)
0
OB OC
⋅
<
(
D)
0
OB OD
⋅
<
(
E)
0
OC OD
⋅
<
2.
設
1
2
1
2
a
a
b
b
，
， ，
皆為非零實數，若
1
1
2
2
0
a
b
a
b
=
，則下列選項中的敘述那些必定是正確的
?
(
A)向量
1
2
( , )
a
a a
=
與向量
1
2
( , )
b
b b
=
平行
(
B)向量
1
2
( , )
a
a a
=
與向量
1
2
( , )
b
b b
=
夾角的餘弦值為 1
(
C)
1
2
1
2
(0,0)
( , )
( , )
O
A a a
B b b
、
、
三點共線
(
D)二元一次方程組
1
1
1
2
2
2
a x b y c
a x b y c
+
=
+
=
有無限多解
(
E)二元一次方程組
1
1
2
2
0
0
a x b y
a x b y
+
=
+
=
有無限多解
建國中學 102 學年度第一學期期末考二年級數學科試題
得
分
測驗日期
月
日
-2-
3.
已知坐標平面上兩直線
1
: 4
3
22
L
x
y
+
=
及
2
11 12
:
1 5
x
t
L
y
t
= − +
= +
，
t 為實數，請選出正確選項 :
(
A)兩直線
1
L 與
2
L 相交於點 (4, 2) (B)向量 (8,6)
n
=
是
1
L 的一個法向量
(C)過點 ( 1, 2)
−
且與
2
L 平行的直線方程式為 12
5
2 0
x
y
+
+ =
(D)兩直線
1
L 與
2
L 夾角的正弦值為
63
65
(E
)
兩直線
1
L
與
2
L
的銳角平分線方程式為
3
11
69 0
x
y
+
−
=
4.
已知坐標平面上三點
( 1, 2)
(3,5)
(10, 3)
A
B
C
−
−
、
、
，且點
P 在線段
AB
上，若向量
AQ AP AC
=
+
，則下列選項中的敘述哪些是正確的
?
(
A
)
點
Q 軌跡的參數式可為
10 4
3 3
x
t
y
t
= +
= − +
，
t 為實數
(
B)向量
AQ
可能與向量
AB
垂直
(
C
)
兩向量內積
AC AQ
⋅
之最大值為
175
(
D
)
四邊形
ABQC 之最大面積為
53
(
E
)
若直線
y mx
=
恆與線段
AB
相交，則
5
2
3
m
− ≤ ≤
5.
設點
G
為
ABC
重心，若
5
6
7
GA
GB
GC
=
=
=
，
，
，則下列選項中的敘述哪些是正確的
?
(
A
)
30
GB GC
⋅
= −
(
B
)|
2
3
| 4 22
GA
GB
GC
+
+
=
(
C
)
5
cos(
)
7
BGC
∠
= −
(
D
)
145
BC
=
(
E
)
ABC
之面積為 45
6.
在
ABC
的三邊
BC
CA
AB
、
、
上分別取一點
D
、
E
、
F
，其中
AD
BE
、
交於點
P
，若
:
2 :1
BP PE
=
且
:
3: 7
AE AC
=
，則下列選項中的敘述哪些是正確的?
(
A
)
2
1
3
3
AP
AB
AE
=
+
(
B
)
5
3
8
8
AD
AB
AC
=
+
(
C
)
8
7
PA
PD
=
(
D
)
:
5 : 7
AF FB
=
(
E
)
(
) : (
) : (
) 3 : 5 : 7
PAB
PBC
PCA
=
面積
面積
面積
三、填充題
: (
每隔
6
分，共
60
分
)
1.
若正三角形
ABC
的邊長為
1，則兩向量
AB BC
⋅
內積之值為 。
解：
2.
已知兩向量 (3, 4)
(2,0)
a
b
=
=
，
，若向量
c
平分
a
與
b
的夾角，且 | |
5
c
=
，則
c
= 。
解：
3.
已知坐標平面上兩點
(5,3)
( 2, 4)
A
B
−
，
，則向量
AB
在直線
2
3 0
x y
+ + = 上之正射影
為 。
解：
-3-
4.
已知一正三角形的外心為點
(1, 2)
O
，若此三角形一邊所在直線方程式為
: 2
3
9 0
L
x
y
−
− = ，
則此三角形面積為 單位平方。
解：
5.
已知由兩向量
u
v
、
所張出之平行四邊形面積為 15 單位平方，則由向量
4
u
v
−
與向量
3
2
u
v
+
所張出之三角形面積為 單位平方
解：
6.
若方程組
4
3
2
kx
y
x
x y ky
+
=
− + =
有無限多組解，則
k
之值可能為
。
解：
7.
如圖，平行四邊形
ABCD
中，已知
:
1: 3
:
2 :1
AE ED
AF FB
=
=
，
，
且線段
CE
與
DF
相交於點
G
，若向量
AG x AC y AD
=
+
，則數
對
( , )
x y
= 。
解：
8.
在
ABC
中，點
D
為
BC
邊上一點，已知
:
1: 2
2 2
BD DC
AD
=
=
，
，且
120
BAC
∠
=
°
，
則兩向量內積
AB AC
⋅
之最小值為 。
解：
9.
已知坐標平面上兩點 (0,0)
(1, 2)
O
A
、
，若點
P
為圓
2
2
8
6
0
x
y
x
y
+
− +
=
上一動點，則兩向
量內積
OA OP
⋅
之最大值為 。
解：
10.
若點
P
為圓
2
2
(
10)
(
1)
4
x
y
−
+ +
=
上一動點，且點
Q
為線段
1 4
0
1
2 3
x
t
t
y
t
= − +
≤ ≤
= +
，
上一動
點，則線段長度
PQ
的範圍為 。
解：
-4-
一、單一選擇題：
1.
(
B
)
2.
(
C
)
二、多選題
:
1.
(
B
)(
D
)
2.
(
A
)(
C
)(
E
)
3.
(
B
)(
D
)(
E
)
4.
(
C
)(
D
)
5.
(
A
)(
C
)(
D
)
6.
(
B
)(
D
)
三、填充題：
1.
1
2
−
2.
(2,1)
3.
9 18
(
,
)
5 5
−
4.
39 3
5.
105
6.
5 或 1
−
7.
1 1
( , )
3 6
8. 18
−
9.
2 5 5
− +
10.
85 2
130 2
PQ
− ≤
≤
+