- 1 -
一、單一選擇題
: 共 2 題(10%)
將答案寫在答案欄，每題有
5 個選項，其中只有一個是正確或最是當
的選項，各題答對者，得
5 分；答錯、未作答或多於一個選項者，該
題以零分計算。
1. 右圖的四面體 A-BCD 中，若 DA DB DC
=
=
，則頂點
D 在平面 ABC 上之投
影點必為三角形
ABC 之 (A)重心 (B)外心 (C)內心 (D)垂心 (E)無法判斷。
2. 右圖的長方體 ABCD-EFGH 中，
3
AB
= ，
2
AD
=
，
1
AE
=
，則下列哪一個值最大
?
(A)
AB CG
⋅
(B) BD HF
⋅
(C)
AC EC
⋅
(D) FB EH
⋅
(E) AF HB
⋅
。
二、多重選擇題
:共 3 題(24%)
將答案寫在答案欄，每題有
5 個選項，其中至少有一個是正確的選項，各題之選項獨立判定，所有
選項均答對者，得
8 分、答錯 1 個選項者，得 6 分；答錯 2 個選項者，得 4 分；答錯多於 2 個選項
或所有選項均未作答者，該題以零分計算。
1. 關於空間中的直線與平面，下列哪些敘述是正確的
?
(A)
設空間中兩相異平面
1
E
，
2
E
交於一直線
L
，若
L
垂直於另一平面
3
E
，則
1
E
，
2
E
均與
3
E
垂直
(B)
空間中三相異直線
1
L
，
2
L
，
3
L
，若
1
3
L
L
⊥
且
2
3
L
L
⊥ ，則
1
2
L
L
(C)
空間中兩相異直線
1
L
，
2
L
及平面
E
，若
1
L
E
且
2
L
E
，則
1
2
L
L
(D)
空間中兩相異直線
1
L
，
2
L
，則必存在另一直線
3
L
使得
3
1
L
L
⊥
且
3
2
L
L
⊥
(E)
空間中一直線，若
P
點在
L
上，則過
P
點且與
L
垂直的所有直線皆落在同一平面上
2. 設
(1, 1,7)
A
−
，
( 4, 2,7)
B
− −
，
(3,1,8)
C
，下列哪些敘述是正確的
?
(A)
AB
與
AC
夾角為銳角
(B) AB
在
AC
上之正射影為
(4, 4, 2)
(C)B
點對直線
AC
的投影點坐標為
( 3, 5,5)
− −
(D)B
點對直線
AC
之距離大於
6
(E)
ABC
之面積小於
8
建國中學 101 學年度第二學期第一次段考二年級數學科試題
得
分
測驗日期
月
日
- 2 -
3.
若
, ,
a b c R
∈
，且
0
abc
≠ ，則下列哪些行列式之值為
0
(A)
1
1
1
a b c
b c a
c a b
+
+
+
(B)
a b b c c a
b c c a a b
c a a b b c
−
−
−
−
−
−
−
−
−
(C)
0
0
0
a b
a
c
b
c
−
−
(D)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
1
1 4
1 4
a
a
k
b
b
k
c
c
k
+
+
+
，其中
k
為任意實數
(E)
a b b c c a
a
b
c
b
c
a
+
+
+
−
−
−
−
−
−
三、填充題
: 共 11 題(66%)
1.
如下圖，
ABCD
為四面體，已知
AD
垂直於平面
BCD
，
BC
BD
⊥
，且
15
AD
= ，
20
CD
=
，
7
BC
= 。若平面
ABC
與平面
BCD
的夾角為
θ
，則
sin
θ
之值為 。(化成最簡分數)
解：
2.
下圖是一個正四角椎，他的底面是一個邊長為
4
的正方形，此四角錐的高為
3
，兩相鄰側面的
夾角為
θ
，則
cos
θ =
。
(
化成最簡分數
)
解：
3. 設
(0, 2,1)
A
，
(1,3, 1)
B
−
，
(1,1, 1)
C
−
，求在空間中與
A
，
B
，
C
三點等距離且與原點
O
最近之點
的坐標為 。(各坐標若為分數，須化成最簡分數)
解：
4.
如下圖所示，
ABCD-EFGH
為邊長等於
1
之正立方體。若
P
點在立方體之內部且滿足
3
1
2
4
2
3
AP
AB
AD
AE
=
+
+
，則
P 點至直線 AB 之距離為 。(化成最簡分數)
解：
5. 空間中，以
AB
為共同邊的兩正方形 ABCD、ABEF，其邊長皆為 4，已知內積
11
AD AF
⋅
=
，
則
AC AE
⋅
= 。
解：
- 3 -
6.
設 a ， b ， c 為
3
2
2
3
4 0
x
x
x
−
+
− = 的三根，求
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a
b
c
+
+
+
的值為 。
解：
7.
設
( 2,1,1)
u
= −
，
(5, 5, 2)
v
=
−
，
2
w
u kv
=
+
，
k
為實數，若
w
平分
u
和
v
的夾角，則
k
=
。
(
化成最簡分數
)
解：
8. 設
ABC
中，
5
BC
= ，
6
AC
= ，
7
AB
= ，若
P
為
ABC
內的任意一點，且
P
到
BC，AC ，
AB
三邊的距離分別為
x
，
y
，
z
，求
5 6 7
x
y
z
+ +
的最小值為
。
(
化成最簡根式
)
解：
9. 設空間中有兩點
( , , )
P x y z
，
(2, 1,3)
Q
−
，若
2
PQ
=
，則
2
2
x
y z
−
+
之最大值為
。
解：
10.
若四面體
OABC
中，
OA
，
OB
，
OC
兩兩垂直，若
OAB
，
OBC
，
OCA
之面積分別為
3
，
4
，
5
，則
ABC
之面積為
。
(
化成最簡根式
)
解：
11. 已知
(1, 2,3)
A
，
(3, 2,5)
B
，
(4, 2,7)
C
為坐標空間中三點，設
( , ,0)
D x y
為
xy
平面上一點，且
滿足
2
y
x
= − ，求四面體
ABCD
體積最小值為
。
(
化成最簡分數
)
解：
- 4 -
一、單一選擇題
:
1.
(B)
2.
(C)
二、多重選擇題
:
1.
(A)(D)(E)
2.
(C)(E)
3.
(A)(B)(D)(E)
三、填充題:
1.
5
8
2.
4
13
−
3.
1
2
( , 2,
)
5
5
−
4.
5
6
5.
27
6.
7
7.
2
3
8.
9 6
2
9.
15 10. 5 2
11.
2
3