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一、多重選擇：(共20 分，每題 10 分，每答對一個選項得 2分)
1. 設二階方陣
cos15 sin15
sin15 cos15
A
°− °
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
°°
⎣⎦
，
cos 30 sin 30
sin 30 cos 30
B
°− °
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
°°
⎣
⎦
，
cos 75 sin 75
sin 75 cos 75
C
°°
⎡
⎤
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
°− °
⎣
⎦
，
95 0
027
D
⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
，請選出正確的選項？
()
A
AB BA= ()
B
AC CA= ()CAD DA=
11 1
()DB B
−
= 11 1
()EC C
−
=
2. 在坐標平面上，請選出與雙曲線
22
1
25 16
yx
−= 的圖形不相交的直線？
() 4Ax= () 4By= ()Cy x=
()5 4 0Dx y−= ()5 4 1Ex y−=
二、填充題：
1. 已知
A
、
B
、C 均為二階方陣，且
A
、
B
、C 都有反方陣，又 11 512
616
BA
−− ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，13
14
C
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦，
則化簡矩陣 1
()ABC − 。
解：
2. 已知有一背包客旅行於某地，而當地只有甲、乙兩間旅館可供選擇，如果今晚他住某間旅館的
話，則明晚續住此間旅館的機率為 1
3，住另一間旅館的機率為 2
3。已知此人星期一晚上決定住
甲旅館，則三天後的星期四晚上他住在甲旅館的機率為 。
解：
3. 設有甲乙兩袋，甲袋中有 2 個白球，乙袋中有 2 個紅球，每球被取到的機會相同，我們
把以下操作稱為一次操作：同時自甲袋和乙袋中各任取一球，並且放入另外一袋內，在經
過長期的操作後，則甲袋中仍是 2 個白球的機率為 。
解：
建國中學 102 學年度第二學期二年級數學期末考科試題
得 分
測驗日期
月 日
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4. 在平面坐標上，點 (1，3) 與點 (1，4) 經過二階方陣
A
的線性變換後，分別變成點 (24，23)
與點 (29，30)，則方陣 A 。
5. 在坐標平面上，已知二階方陣 20
14
A
⎡
⎤
=
⎢
⎥
⎣
⎦，而
P
、Q、
R
三點經過方陣 A 的線性變換後分
別變成
P
′、Q′、
R
′ 三點，又 10PQ
′′
=，14QR
′′
=，16RP
′′
=，則
P
QRΔ 面積的值
為 。
解：
6. 在坐標平面上，設拋物線
Γ
的焦點為 (1，3)，焦點在準線上之投影點為 (1，4)，則此拋物
線
Γ
的方程式為 。
解：
7. 在坐標平面上，設拋物線
Γ
的準線垂直於
x
軸，且
Γ
通過點 (2048，1)，(2048，2)，
0
(3)x，，(1946，4)，則 0
x 之值為 。
解：
8. 在坐標平面上，設直線 :4Ly=− 與拋物線 2
:4xy
Γ
=− 相交於
P
Q、 兩點，若 F 表拋物
線
Γ
的焦點，則
P
FQF+ 之值為 。
解：
9. 在坐標平面上，設
P
為橢圓
22
:1
25 9
yx
Γ
+= 上一點， 12
FF、為兩焦點，若 12
60EPF∠=°，則
12
P
FFΔ 的面積之值為 。
解：
10. 在坐標平面上，已知一橢圓
22
1
94
xy
+= 試求各邊平行於坐標軸且內階於橢圓的矩形中，其最
面積為 。
解：
- 3 -
11. 在坐標平面上，已知橢圓 3
(3)
2
P， 通過點，且兩焦點為 12
( 5 0) ( 5 0)FF−，、 ， 則此橢
圓的方程式為 。
解：
12. 在坐標平面上，設點 AB、 分別在
x
軸、
y
軸 上移 動，且 1AB =，若 點
P
在直線 AB 上
但是不在線段 AB 上，且 :2:3AP BP =，則動點
P
的軌跡方程式為 。
解：
13. 在坐標平面上，雙曲線
Γ
的兩焦點 (2，9)、(8，9)，且其貫軸長度為 27，則
Γ
之共軛
雙曲線的方程式為 。
解：
14. 在坐標平面上，已知
Γ
為等軸雙曲線，其中一條漸近線方程式為 40xy−−=，而
Γ
的中
心為 (4)p，，且
Γ
通過 (3，0)、(3 )q， 兩點，令
Γ
的貫軸長度為 r，則有序數組
()
p
qr、、 。
解：
三、 計算題：
1. 設二階方陣
37
25
P⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，27 42
20 31
A
−
⎡⎤
=⎢⎥
−
⎣⎦
，n 為正整數，試求：
(1) 1
pAP
− (5分) (2) n
A(以 n 表示)。 (5分)
解：
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一、多重選擇題：
1. (A)(D)(E) 2. (B)(C)(D)
二、填充題：
1.
20
14
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
2. 13
27 3. 1
6 4.
95
27
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
5. 53 6. 2
(1) 2 7xy−=−+ 7. 2014 8. 14
9. 33 10. 12 11.
22
1
94
xy
+= 12.
22
1
94
xy
+=
13.
22
(9)(5)1
27
yx−−
−=
14 (8，8，6)
三、計算題：
1. (1)
10
03
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
(2)
15 14 3 21 21 3
10 10 3 14 15 3
nn
nn
⎡
⎤
−⋅ −+⋅
⎢
⎥
−⋅ −+⋅
⎣
⎦