- 209 -
第一部份：基礎題(共 60 分)
一、 選填題：(每題 10 分)
1. 若線性變換矩陣
T
，將
1
3
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
與
2
4
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
分別變換到
8
6
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
與
12
10
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
，則矩陣
T =
。
解：
2. 若矩陣
R =
cos 40
sin 40
sin 40
cos 40
° −
°
⎡
⎤
⎢
⎥
°
°
⎣
⎦
，
M =
cos50
sin 50
sin 50
cos50
°
°
⎡
⎤
⎢
⎥
° −
°
⎣
⎦
，則
9
7
R M ⎡ ⎤
⋅ ⋅
=
⎢ ⎥
⎣ ⎦
。
解：
3. 若拋物線
2
8
y
x
=
上有一點 P，且 P 點與焦點的距離等於 20，則 P 點坐標為 。
解：
4. 已知一橢圓的兩焦點為
( )
1
0,3
F
，
(
)
2
0, 3
F
−
，弦
AB
過
1
F ，若
2
ABF
的周長為 22，則此
橢圓的短軸長為 。
解：
5. 如右圖，坐標平面上兩定點
(
)
1
5,0
F −
與
( )
2
5,0
F
，以
1
F 為圓心，
8 單位長為半徑畫圓。令 Q 點在為此圓上的動點，且 P 為
2
F Q
中
垂線與直線
1
FQ
的交點，當 Q 點在圓上繞一周時，則 P 點的軌跡
方程式為 。
解：
6. 已知橢圓
2
2
2
2
1
5
3
x
y
+
= ，B 點為短軸的一個端點，P 為橢圓上的一個動點，則
PB
的最大值
為 。
解：
台中一中 102 學年度第二學期二年級期末考數學科試題
得 分
測驗日期
月
日
- 210 -
第二部份：進階題(共 42 分)
二、 多選題：(每題 6 分)
1. 設 A、B 均為二階方陣，A 表平面上對直線
:
3
0
L x
y
−
=
鏡射之矩陣表示且
2
AB
I
= − ，則
下列何者正確？
(1)
2
A B
−
為鏡射之矩陣表示 (2)
(
)(
)
2
2
A B A B
B
A
+
−
=
−
(3)
(
)
(
)
9
9
ABA
BAB
=
(4)
3
1
B
B
−
=
(5) B 表平面上對直線
': 3
0
L
x y
− =
鏡射之矩陣表示
2. 拋物線
2
:
4
y
x
Γ
=
的焦點
( )
1,0
F
，
AB
為
Γ
的一焦弦且
(
)
1
1
,
A x y
、
(
)
2
2
,
B x y
，
1
2
x
x
≠
。設點
( )
3,0
C
，
p AF
=
，
q BF
=
，
AFC
θ
∠
=
，則下列何者正確？
(1)
2
1 cos
p
θ
=
+
(2)
2
1 cos
q
θ
=
−
(3) 1 1 1
p q
+ =
(4)
2
4
cos
AB
θ
=
(5)
1 1 2 2
4
x y x y
= −
3. 橢圓
2
2
1
2
4
x
y
+
=
的上下兩焦點分別為
1
F 、
2
F ，O 為橢圓的中心。P 為橢圓在第一象限(弧)
上一點且滿足
1
2
1
PF PF
⋅
=
，則下列何者正確？
(1)
3
OP
= (2)
1
1
cos
3
OPF
∠
= (3)
1
2
F PF
為直角三角形 (4)
2
OPF
的面積為 2
(5)
1
PF
在
2
PF
的正射影長為
1
3
三、 選填題：(每題 6 分)
1. 設
AB
是橢圓
Γ
的長軸，點 C 在
Γ
上，且
45
CBA
∠
= °
，若
4
AB =
，
2
BC =
，則橢
圓
Γ
的兩個焦點之間的距離為 。
解：
2. 一雙曲線與
2
2
1
:
1
3
1
x
y
Γ
−
= 有共同漸近線，且與
2
2
2
:
1
3
1
x
y
Γ
+
= 有共同焦點，則此雙曲線的貫
軸長為 。
解：
- 211 -
3. 一雙曲線以橢圓
2
2
1
4
2
x
y
+
=
的焦點為頂點，長軸頂點為焦點，則此雙曲線一焦點至漸近線之
距離為 。
解：
4. 設 O 為原點，A、B 兩點在拋物線
2
8
y
x
=
上，若 OAB
的垂心與拋物線的焦點重合，求
OAB
的外接圓半徑
R =
。
解：
第三部份：挑戰題(每題 3 分，共 6 分)
1. 橢圓
(
)
2
2
1
2
:
1
1
x
y
m
m
Γ
+
=
>
與雙曲線
(
)
2
2
2
2
:
1
0
x
y
n
n
Γ
−
=
>
有公共焦點
1
F 、
2
F ，若 P 是兩
曲線
1
Γ
、
2
Γ
的交點，則
1
2
F PF
的面積為 。
解：
2. 拋物線
2
:
4
y
x
Γ
=
的頂點 O，焦點 F，P 為拋物線上的一動點，求 PO
PF
的最大值為 。
解：
- 212 -
第一部份
一、選填題：
1.
2 2
3 1
⎡
⎤
⎢
⎥
⎣
⎦
2.
7
9
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
3.
(
)
18, 12
±
4. 85
5.
2
2
1
16 9
x
y
−
=
6. 25
4
第二部份
二、多選題：
1. (1)(2)(4) 2. (3)(5) 3. (3)(5)
三、選填題：
1. 4 6
3
2. 6 3. 2 4. 9
第三部份：
1. 1 2.
2 3
3