- 125 -
一、多選題
:
1. 下列選項中，關於二階方陣的敘述哪些是正確的?
(1) cos 2
sin 2
sin 2
cos 2
θ
θ
θ
θ
−
為一旋轉矩陣 (2) cos
sin
sin
cos
θ
θ
θ
θ
−
為一旋轉矩陣
(3) 0
1
1 0
−
−
為一鏡射矩陣
(4) 2
0
0
4
−
為一伸縮矩陣 (5) 1
3
0
1
−
為一推移矩陣
2. 若坐標平面上有相異兩點
(3,0)
A
、
( 3,0)
B
−
，一直線
:
3
L x
= −
與動點
P，且
( , )
d P L
表動點
P 到直線 L 之距離，則下列選項哪些是正確的?
(1)
若
( , )
PA d P L
=
，則
P
點軌跡為一拋物線
(2)
若
3 ( , )
PA
d P L
=
，則
P
點軌跡為一雙曲線
(3)
若
1
( , )
2
PB
d P L
=
，則
P
點軌跡為一橢圓
(4)
若
8
PA PB
+
= ，則
P
點軌跡為一橢圓
(5)
若
2
PA PB
−
=
，則
P
點軌跡為一雙曲線
3. 設
A
、
B
為坐標平面上橢圓
2
2
:
1
25 16
x
y
Γ
+
= 的兩焦點，
P
為
Γ
上一點，使
ABC
構成等腰
三角形。則下列那些值可能為這些等腰三角形的一邊長?
(1)3 (2)4 (3)5 (4)6 (5)8
4.
設
2
2
2
:
1
4 8
x
y
k
k
Γ
+
=
−
−
，其中
k
為實數，則下列哪些選項是正確的
?
(1)
當
2
8
k
< <
時，
Γ
之圖形為一橢圓
(2)
當
2
k
< −
時，
Γ
之圖形為一橢圓
(3)
當
8 k
<
時，
Γ
之圖形為一拋物線
(4)
當
2
2
k
− < <
時，
Γ
之圖形為一雙曲線
(5)
Γ
的圖形不可能是等軸雙曲線
二、填充題
:
1.
已知二階方陣
3
1
a
T
b
=
把直線
2
3
x y
− =
變換成直線
3
7
15
x
y
+
=
，則
(1)
實數對
( , )
a b =
。
(2)
若平面上三點
(1,1)
A
、
(2,1)
B
、
(1,3)
C
，則
ABC
經過方陣
T
變換後的面積為
。
解：
高雄女中 101 學年度第二學期二年級期末考數學科試題
得
分
測驗日期
月
日
- 126 -
2. 將一圓
2
2
: (
5)
(
10)
9
C x
y
−
+ −
=
對直線
2
0
x
y
−
=
做鏡射，所得新圖形方程式為
。
解：
3.
若
T
為二階方陣，
3
27
0
0
64
T
=
，則橢圓
2
2
1
16
9
x
y
+
=
經方陣
T
變換後所得新圖形方程式為
。
解：
4. 已知一拋物線
2
1
:
8
x
y
Γ
=
及一點
(5, 4)
A
。若
F
為
Γ
之焦點，
P
點為
Γ
上一動點，則
AFP
周長最小值為 。
解：
5. 若一拋物線的對稱軸平行
x
軸，且通過
( 2,1)
A
−
、
(2, 1)
B
−
、
( 1, 2)
C
−
三點，則此拋物線方程
式為
。
解：
6. 若一拋物線的頂點為
(3, 2)
V
，焦點為
( 1, 2)
F
−
，則此拋物線方程式為
。
解：
7.
已知一雙曲線
Γ
的中心在原點，一漸近線方程式為
3
4
0
x
y
+
=
，一焦點為
( 3,0)
−
，則
Γ
的
共軛雙曲線方程式為
。
解：
8. 已知一雙曲線的兩焦點為
1
(4,8)
F
，
2
(4, 4)
F
−
且通過點
(9, 4)
−
，則此雙曲線方程式為
。
解：
- 127 -
9.
若一橢圓長軸在直線
4
x
=
上，短軸在直線
2
y
=
上，而短軸長為長軸長的
4
5
倍，且中心到
焦點的距離為
6，則此橢圓方程式為 。
解：
10. 已知一橢圓的兩焦點為
1
(4,8)
F
，
2
(4, 4)
F
−
，弦
AB
過點
1
F
，的周長為
40，則此橢圓方程式為
。
解：
11.
若
k
為實數，已知一雙曲線
1
: (4
3 )(4
3 )
x
y
x
y
k
Γ
+
−
=
，與一橢圓
2
2
2
:
1
25
9
x
y
Γ
+
= ，
(1)若
1
Γ
通過點
(2, 3)
A
−
，則點
A
到
1
Γ
的兩漸近線距離之乘積為 。
(2)若
1
Γ
，
2
Γ
恰交兩點，則實數
k
= 。
(3)若
1
Γ
，
2
Γ
有相同焦點
1
F
，
2
F
，點
P
為
1
Γ
，
2
Γ
之一交點，則
2
2
1
2
PF
PF
+
= 。
12. 如下圖，有一幅以太陽為一焦點的雙曲線型的彗星軌道圖。在圖中心左方
6 公分處為軌道之頂
點，
8 公分處為太陽，若彗星的位置在通過中心之鉛直線左方 12 公分，試求彗星與太陽在圖
上的距離為
。
解：
13. 如下圖，有一幅以太陽為一焦點的橢圓形彗星軌道圖，長
100 公分，高 60 公分。試求
(1)太陽的位置離此圖邊緣最短距離為 公分。
(2)若圖中彗星與太陽連線段和此橢圓軌道之長軸夾角 90
°，則彗星與太陽連線段長為 公分
(3)若圖中彗星與太陽連線段和此橢圓軌道之長軸夾角 60
°，則彗星與太陽連線段長為 公分
(有兩解)
解：
- 128 -
一、多選題
:
1. (1)(3)(5) 2. (1)(2)(4) 3. (2)(3)(4) 4. (4)(5)
二、填充題
:
1. (1) (1, 2)
− (2)5 2.
2
2
(
11)
(
2)
9
x
y
−
+ +
= 3.
2
2
144
x
y
+
=
4. 12
5.
2
2
1
x
y
y
=
−
− 6.
2
(
2)
16(
3)
y
x
−
= −
− 7.
2
2
1
144
81
25
25
x
y
+
= −
8.
2
2
(
4)
(
2)
1
20
16
x
y
−
−
−
+
= 9.
2
2
(
4)
(
2)
1
64
100
x
y
−
−
+
= 10.
2
2
(
4)
(
2)
1
64
100
x
y
−
−
+
=
11. (1)
17
25
(2)400， 81
− (3)
1538
25
12. 10 13. (1)10 (2)18 (3)30，
90
7