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一、多重選擇題 : (共 20 分，每個選項答對得 2 分)
1. 設 A、B 為兩個 22× 方陣，則下列哪些選項的 A、B 必滿足
AB=BA？
(A) A、B 皆為旋轉矩陣 (B) A、B 皆為伸縮矩陣 (C) A、B皆為鏡射矩陣
(D) A 為推移矩陣，B為鏡射矩陣 (E) A 為旋轉矩陣，B為伸縮矩陣。
2. 有一橢圓 22
:4 4xyΓ+=，則下列哪些方程式的圖形可經由平移及旋轉與 Γ 重合？
(A) 22
424 12640xxyy−+++=
(B) 2222
(2)(12) (12)4xy xy− + −− + + −+ =
(C) 22
442490xyxy++−−=
(D) 22
(1)4 40xy++ −=
(E) 22
8440xy+−=
二、填充題：(共 80 分，每格 5 分)
1. 右圖為一正六邊形，中心為原點， (2,1)A，則
E
點的坐標為 。
解：
2. 若方程式 242 3xx xk−=−++ 有 2 個相異實根(不含重根)，則 k 的範圍為 。
解：
3. 已知將圓 22
:( 8) ( 6) 4Cx y−+− = 以原點為中心順時針旋轉 90° 後，再 對 30xy−= 鏡射後得
圓 'C，則：
(1) 'C 的方程式為 。 (2) C 上任一點與 'C 上任一點的距離最短為 。
解：
台中女中 102 學年度第二學期二年級期末考數學科試題
得 分
測驗日期
月 日
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4. 有一雙曲線，其兩條漸近線交於 (3,2)，兩焦點 1
F、2
F，且 1(7,5)F。若雙曲線上有一點
P
使
得 12
6PF PF−=−
，則此雙曲線的：
(1) 共軛軸所在的直線方程式為
(2) 正焦弦長為 。
解：
5. 若
22
2
22
(1)( 2)
:1
41 4
xy
t
tt
Γ
−−
−=+
−− 的圖形為一橢圓，則 t 的範圍為 。
解：
6. 將二次函數 2
1329
424
xy y=−+
的圖形沿直線 4390xy−+= 往右上方的方向平移 10 單位後
得新圖形
Γ
，則
Γ
的頂點為 ，
Γ
上距直線 0xy+= 最近的點為 。
解：
7. 有一等軸雙曲線
Γ
的中心為 (3,4)，其中一條漸近線與
x
軸正向夾 45°，且其共軛雙曲線
'
Γ
通過 (1,5)，則此雙曲線
Γ
兩焦點的距離為 ，正焦弦長為 。
解：
8. 求過 (10, 0)A 且與圓 22
: ( 2) 36Cx y++= 相切之動圓，其圓心的軌跡方程式為 。
解：
9. 設
P
為拋物線 223yx x=− + − 上任一點， (2,3)Q、(4, 1)R−，則
P
QRΔ 的面積最小為 。
解：
10. 若 (,)
P
ab 是圓 22
:25Cx y+= 上的任一點，過 P 點作
x
軸的垂線交
x
軸於 M 點，當 P
沿著 C 繞一圈時，求線段 MP 上使 :2:1PQ QM = 的點 (, )Qxy 的軌跡方程式為 。
解：
11. (10, 0)A，拋物線 212
y
x= 之焦點為 F，則在此拋物線上可以找到 個點使得
7PA PF−=。
解：
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12. 方程式 36xy+= 的圖形為
Γ
，則將
Γ
上任一點 (,)ab 變換成
(',') (5 2 1, 4)ab a b a b=+−−+ 得圖形 '
Γ
，則 '
Γ
的面積為 。
解：
一、多重選擇題:
1. (A)(B)(E) 2. (B)(D)
二、填充題：
1. 23123
(, )
22
−+ −− 2. 35k−< < 或 6k>
3. (1) 22
( 10) 4xy+− = (2) 45 4− 4. (1) 4318xy+=
(2) 32
3
5. 1
2
2
t−<<− 或 12
2
t<< ，但 1t≠± 6. (11,11)；(12,9)
7. 26；23 8.
22
(4) 1
927
xy−−=
9. 6 10. 22
925xy+=
11. 1 12. 168