-1-
一、多重選則題：
(共 10 分)
1. 平面上有一平行四邊形 ABCD，P 為平面上一點且
AP x AB y AD
=
+
，試問下列哪些
( , )
x y
數對會使
P
點落在平行四邊形內部
?
(A)
3 2
( , )
7 7
(B
)
9
1
( ,
)
7
7
−
(C)
6 5
( , )
7 7
(D)
3 5
(
, )
7 7
−
(E)
4 8
( , )
7 7
2. 平面直角坐標中，
1
2
Ω
Ω
、
分別代表以下各選項兩方程式，則下列哪些
1
2
Ω
Ω
、
之圓形恰好
有一交點
?
(A)
1
2
2
3
:
: 2
3
5
3 1
x
t
t R
x
y
y
t
= +
Ω
∈
Ω
−
=
= − +
，
；
(B)
1
2
2
3
:
0
2
: 2
1
3 1
x
t
t
x y
y
t
= +
Ω
≤ ≤
Ω
+ =
= − +
，
；
(C)
2
2
1
2
: 3
4
1 0
: (
2)
(
3)
25
x
y
x
y
Ω
−
+ =
Ω
−
+ +
=
；
(
D)
2
2
1
2
2
3
:
0
2
: (
2)
(
3)
25
3 1
x
t
t
x
y
y
t
= +
Ω
≤ ≤
Ω
−
+ +
=
= − +
，
；
(
E)
1
2
:
:
x
y
x
y
m
n
a b
c d
Ω
+ =
Ω
+ =
；
，其中
0
0
0
a b
a m
m b
c d
c n
n
d
=
≠
≠
、
、
二、填充題：
(共 80 分)
1. 平面直角坐標中，設
(3,8)
(2,5)
( 4,3)
A
B
C
−
、
、
，若
2
3
0
AG
BG
CG
+
+
=
，則
G
的坐標為何
。
解：
2.
設
AB
CD
、
不平行且均為非
0
，
(2
3
5)
(
)
a
x
y
AB
x y CD
=
+
−
+ −
，
(
4)
(2
9)
b
x y
AB
x y
CD
= + −
+
+ −
，若
2
a
b
=
求數對 ( , )
x y 為何 。
解：
3.
若 | | 2 | | 0
b
a
=
≠
，且
(
2 ) (3
)
a
b
a b
+
⊥
−
，則
a
與
b
夾角為何 。
解：
4.
平面直角坐標中，已知一正方形的中心為 (2,1)
P
，其一邊所在直線方程式為
3
5 0
x y
− + = ，
求此正方形的面積為何 。
解：
台南一中 102 學年度第一學期期末考二年級數學科試題
得
分
測驗日期
月
日
-2-
5.
承上題
(4)，此正方形兩對角線所在直線之方程式為何 。(有兩解，全對才給分)
解：
6.
求行列式
2 7
3
11
3 2 7
11
3 2 7
11
+
+
−
+
+
之值為何 。
解：
7.
在
ABC
的三邊 BC
CA
AB
、
、
上分別取 D、E、F 三點，
使
2
3
2
DC
BD
EC
AE
=
=
，
FB AF
=
，
(如右圖)。設 G 為
DEF
之重心，設 AG
AB
AC
α
β
=
+
，求
( , )
α β
值
= 。
解：
8.
設
| | 3 | | 2
a
b
=
=
，
，
a
與
b
之夾角為
120
°
，
2
2
AP a
b
AQ
a b
= −
=
+
、
，則
|
|
PQ
= 。
解：
9.
平面直角坐標中， ( 5,60)
(19, 24)
A
B
−
−
、
若
( , )
P x y
AB
∈
且
AP 上有 15 個格子點，則 y 的
範圍為何 。
解：
10.
平面直角坐標中，
(2,5)
(5,1)
(3,7)
A
B
C
、
、
若 AP
與
AC
在
AB
上的正射影相同，求 P 點
所形成的軌跡圖形方程式為何
。
解：
11.
設方程組
(2
3)
13
5
1
2
(
7)
1
a
x
y
x
x
a
y
a
+
+
=
+
− + −
= − +
無解，則 a = 。
解：
12.
平面直角坐標有一等腰梯形
ABCD，其中
(
)
AD
BC AD BC
≠
，
AB CD
=
，若
(1,3)
AB
=
( 6,8)
AD
= −
，
，試求
CD
= 。
解：
13.
設
x
y
、
為實數，且
2
2
4(
2)
9(
1)
36
x
y
+
+
+
= ，當
0
0
x x
y
y
=
=
、
時， ( , ) 8
9
10
f x y
x
y
=
+
+ 有
最大值 M，試求序對
0
0
( , ,
)
x y M
= 。
解：
-3-
14.
在
ABC
中，(
) : (
) : (
) 1: 3: 5
AB BC
BC CA
CA AB
⋅
⋅
⋅
=
，若
|
| 8
BC
=
，求
ABC
的面積 。
解：
15.
平面直角坐標三直線
1
2
3
: 9
2
8 0
: 2
9
36 0
: 7
6
64 0
L
x
y
L
x
y
L
x
y
−
+ =
−
+
=
+
−
=
、
、
圍成
ABC
，求
ABC
內心坐標為何 。
解：
16.
於四邊形
ABCD 中，OA OC OB OD
OA OB OC OD OA OD OB OC
+
=
+
⋅
+
⋅
=
⋅
+
⋅
，
，若
|
| 10
BD
=
|
| 16
AC
=
，
，求四邊形
ABCD 的面積 = 。
解：
三、計算題
: (
共
10
分
)
1.
在
ABC
中，
6
4
5
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
A
∠ 的內角角平分線與
AC
中垂線交於 P 點，
AP
交
BC
於 D (如右圖)，試問:
(1)求
AB AC
⋅
= 。(2%)
(2)若 AD
AB
AC
α
β
=
+
，求數對
( , )
α β
= 。(2%)
(3)求
AC AP
⋅
= 。(2%)
(4)若 AP
p AB q AC
=
+
，試求數對
( , )
p q
= 。(4%)
-4-
一、多重選擇題：
1.
(A)(C)
2.
(A)(D)
二、填充題：
1.
5 9
(
, )
6 2
−
2.
(9, 3)
−
3. 60
°
4.
40
5.
2
5 0
2
0
x y
x
y
+ − =
−
=
，
6.
20
−
7.
11 11
(
,
)
30 45
8.
3 3
9.
45
38
y
− < ≤ −
10.
3
4
19
x
y
−
= −
11.
1
2
12.
79
3
(
,
)
25
25
−
−
13.
2 1
( , ,15)
5 5
14.
8 23
15.
(2,6)
16.
80
三、計算題
:
1.
(1)
27
2
(2)
2 3
( , )
5 5
(3)8 (4)
16 8
(
,
)
75 25