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九十五學年度高級中學數學科能力競賽試題（一）
南區（高屏區）
編號：________________
注意事項：
(1)時間分配：2 小時
(2)本試卷共五題，滿分 49 分。第一題 10 分，第二題 10 分，第三題 10 分，第四題 10 分，第五
題 9 分。
(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。
(4)不可使用電算器。
(5)試題與答案卷一同繳回。
[問題一]：過點 (1, 2) 之直線交雙曲線 xy = 1 於 P、Q 兩點，求線段 PQ 之最小值。
[問題二]：設 x 與 y 為任意的實數，而其中
1
y
。已知
2
)
1
(
)
1
(
x
y
y
，試問
2
)
1
(
x
y
y
是否會成立？
(若不成立請舉出反例，若成立則需加以證明)
[問題三]：設 a 為正整數，x 為實數且滿足
a
x
1
，試求滿足方程式
2
2
2
])
[
(
2
]
2
[
2
x
x
x
x
的解其個數有多少？
（註： ]
[b 為不大於 b 的最大整數）
。
[問題四]：p 為大於 2 的質數，a 和 b 為任意兩自然數，設
a
b
n
n
p
n
1
1
1
。求證 p 為 b 的因數。
[問題五]：設
n
n
n
b
a
a
3
2
1
且
,
3
,
2
,
1
,
2
1
n
b
a
b
n
n
n
。已知
0
,
1
1
1
b
a
。
試證
2
)
(
1
3
n
n
n
b
b
a
。 (
2
n
)