108 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（一）
編號：
（時間二小時）
注意事項：
1. 本試卷共五題計算證明題，滿分為四十九分。
2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、若兩圓
2
2
1
:
2
6
6
0
C x
y
x
y
+
−
+
− = 與
2
2
2
:
2
2
7
0
C
x
y
x
y
+
+
+
− =
相交於
,
A B
兩點。假如圓
3
C 通過
,
A B
兩點且與直線
:
2
0
L y
x
− + =
相切
於 P 點。試求 PAB
之面積。
二、將
100 個數值
1921, 1922, 1923,
, 2019, 2020
任意排列後的數列，
令為
1
2
99
100
,
,
,
,
S
a a
a
a
=
,
並令
1
1
2
1
2
100
1
2
100
,
,
,
S
a S
a
a
S
a
a
a
=
= +
= + + +
若數列
1
100
i
S
i
中每一項都不被
3 整除，
請問滿足如此排列的數列
1
2
99
100
,
,
,
,
S
a a
a
a
=
有幾種
?
三、設
1
1
2
2
1
1,
3
n
n
n
a
a
a
a
+
=
=
+
, 其中
1, 2,
n =
,
證明：(1)
對所有
2
n
,
3
2.
n
a
(2)
對所有
1
n
,
2
1
1
n
n
a
a
+
−
−
, 其中
3
2
=
.
四、找出所有整數數對
( , )
x y
滿足
2
1
2
2
2
1
x
x
y
+
+
=
− .
五、設 ABC
的外接圓為O ,
A
的分角線與 BC 交於點 D , 而與圓O 則交於
點 A 與點 E . 以
DE
為直徑的圓
與圓O 交於點 E 與點 J . 設 M 為 BC
的中點，證明
M
BAJ
CA
=
.
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(9 分)
108 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（二）
編號：
（時間一小時）
注意事項：
1. 本試卷共六題填充題，每題 3.5 分，滿分為二十一分。
2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、 如右圖，點 M 是長方形 ABCD 的邊 AD 的
中點， BME
是正三角形， N 為線段 EC
的中點。已知
48 ,
1
AMB
BM
=
=
,
則 DN 的長度是多少？
二、 實數
1
x 滿足方程式
tan cos(10
)
0.
x
=
則 x 的最小值為何?
三、 令
1
2
18
,
,
,
x x
x
為方程式
18
11
4
1 0
x
x
+
+ = 的 18 個根，
求
4
2
4
2
4
2
1
1
2
2
18
18
(
1)(
1)
(
1)
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+ 的值為何?
四、 設
1
2
3
, , ,
a a
a 為正整數嚴格遞增數列即
1
,
n
n
a
a
+
且滿足
3
n
a
a
n
=
, 求
7
a 的值為何?。
五、 一蒙眼槍手有 N 發子彈，隨機射向 n 個靶位，假設這 n 個靶位皆有一位
記分員，若第i 個靶位無任何子彈射中則記
1
i
X = 否則
0
i
X = ，
其中1 i n
。
若
k
S 代表等候剛好 k 個靶位被射中所花費的最少子彈數，
假設
1
k
k
k
Y
S
S
−
=
−
, 則為介於剛射中
1
k − 個靶位與剛射中 k 個靶位的期
間所耗費的子彈數，
2
k 。若
1
i ，求
k
Y
i
= 的機率為何?
六、 有
18 位同學進行以下遊戲：黑板上寫有正整數 1 到 38。第一位同學
擦掉
3 個數，並在黑板上寫上這三個數的和減 2 的那個正整數。第二
位同學從剩餘的數中擦掉
3 個數，並在黑板上寫上這三個數的和減 4。
第 k 位同學從剩餘的數中擦掉
3 個數，並在黑板上寫上這三個數的和
減 2k 。如此進行一直到所有同學都參與。如果留在黑板上數皆為正整
數，且
20 是留下的一個數，試求其它留下的數為何?