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一百學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（高雄區） 筆試（一）
注意事項：
(1)時間分配：2 小時
(2)本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分。
(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。
(4)不可使用電算器。
(5)試題與答案卷一同繳回。
一、(1) 滿足
2
2
2
z
y
x
的正整數 x, y, z 稱為畢氏三數組，證明互質的畢氏三數組 x,
y, z 必為兩兩互質且 x 和 y 為一奇一偶。
(2) 如果 x, y, z 為一組互質的畢氏三數組(假設 x 是偶數)，則必存在一奇一偶且
互質的 s 和 t 使
2
2
2
2
,
,
2
t
s
z
s
t
y
st
x
(假設 t > s)，利用此證明
2
4
4
z
y
x
沒有正整數 x, y, z 的解。
二、已知
1
b
a
且
0
ab
，
1
4
ab
。試證：
2
)
4
1
(
)
2
1
)(
2
1
(
9
ab
b
a
ab
三、如右圖，
ABC
中，
AD
是
BAC
的平分線，以
C
為圓心，
CD
為半徑的半圓
交
BC
的延長線於點
E
，交
AD
於點
F
，交
AE
於點
M
，且
B
CAE
，
:
4 : 3
FE FD
。
(1) 求證：
AF
DF
；
(2) 求
AED
的餘弦值；
(3) 如果
10
BD
，求
ABC
的面積。
四、設
0
0
2 3,
3
x
y
，對於任意一個正整數
n
，
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
x
y
x
x
y
且
1
n
n
n
y
x y
。
證明：對於所有正整數
n
，
1
1
n
n
n
n
y
y
x
x
。
A
B
C
D
F
M
E