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一百零貳學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（高雄區） 筆試（一）
編號：________________
注意事項：
(1)時間分配：2 小時
(2)本試卷共四題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分。
(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。
(4)不可使用電算器。
(5)試題與答案卷一同繳回。
一、設 m, n 均為正整數且滿足不等式
，若給予一個定數 n，則只有唯一
的一個數 m，使得不等式成立，求 n 的最大數及最小數為何？
二、某運動會開了 天，共發出
面獎牌，其中
。第一天發出 2 面獎牌加上剩下獎
牌的 ，第二天發出 4 面獎牌加上剩下獎牌的 ，第三天發出 6 面獎牌加上剩下獎
牌的 ，以此類推，至最後的第 天發出的
面獎牌剛好將所有的獎牌全部發完。
試問運動會共開了幾天？共發出了幾面獎牌？
三、設
，令
，
，且
，n = 1, 2, 3, 4, …..
試證
四、如右圖，圓
與圓
和
三邊所在的 3 條直線
都相切，E, F, G, H 為切點，
直線 EG 與直線 FH 交於點
P。
求證: 直線 PA 垂直直線 BC。
9
5
2
3
3
11
6
m
n
n
n
m
3
n
5
1
5
1
5
1
n
n
2
2
2
1
2
)
(
x
x
x
f
1
)
(
a
a
f
4
0
a
1
)
(
n
n
a
a
f
n
n
a
a
1
1
O
2
O
ABC