108 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（一）
編號：
（時間二小時）
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分為四十九分。
2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、設 p , q 為正整數，使得 x 的三次方程式
3
2
2019
0
x
x
px
q
−
+
− = 有相異三
整數根，且此三根恰成等比，求 p 所有可能的值。
二、給定一個銳角三角形 ABC
, M 是 BC 的中點，
圓 O 通過 A 並且與 BC 於 C 處相切，直線
AM
交圓 O 於 D ,,連接
BD
並延長此直線交圓 O 於
另一點 E 。證明: EAC
BAC
=
。
三、(a)設有8台電腦，每台電腦恰與其他2台電腦連線，有多少種連結的組
合?
(b)在(a)的前提下，假設小明的電腦是八台其中之一台。已知八台電腦
中恰有一台為駭客所有，任何電腦，若是與他的電腦直接或間接連
線，就會被駭，相反的，就不會被駭。若假設每一種連結的組合有
相同的機率，求小明的電腦被駭的機率。
四、設
( )
f x
為實係數多項式，對任意滿足
0
ab bc
ca
+
+
= 的實數 , ,
a b c 皆使得
(
)
(
)
(
)
2 (
)
f a
b
f b
c
f c
a
f a
b
c
− +
− +
−
=
+ +
成立，求所有可能的
( )
f x
。
(12 分)
(12 分)
(12 分)
(13 分)
108 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（二）
編號：
（時間一小時）
注意事項：
1. 本試卷共六題填充題，每題 3.5 分，滿分為二十一分。
2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、 如右圖，在一個
4x4 共 16 個格子中，每一個填入
一個數字，且每一行，每一列及每一格 2 2
的黑
色粗框中都要各有
1、2、3、4 四個數字。請問若
左上角的粗框已經填入了
1、2、3、4 等四個數字，
那麼剩下的
12 個格子中有多少個填法可以滿足
「每一行，每一列及每一格 2 2
的黑色粗框中都
要有
1、2、3、4 四個數字」呢？
二、 將1,2, ,2019
重排成
1
2
2019
,
,
,
a a
a
,請問
2019
1
k
k
a
k
=
−
的所有可能值中最大
者為何？
三、 在一張長 2
,寬 2 的長方形紙張 ABCD
上，印有一個正弦函數
sin
y
x
=
, 一個週
期的圖形曲線
(如右圖)。設
,
P Q
兩點為
曲線上之動點，滿足
Q
的 x 坐標等於 P
的 x 坐標加 1。現將此張圖捲起來，使
得
AD
與 BC 重合，而得一圓柱，求此時
,
P Q
兩點在空間中距離的最大值。
四、 如 右 圖 ， ABC
中 ，
45
BAC
= ,, AD BC
⊥
,,,
3
BD = ,,
1
CD = ,, 則 ABC
的面積為何
?,
五、 求
60
60
0
60
i
j
i j
C
C
, 被 31 除的餘數。
六、 對於數列
1
2
,
,
,
,
n
a a
a
若
1
i
i
a
a
−
且
1
i
i
a
a
+
,則稱
i
a 為一個「峰」
。
今將1,2, ,6
重排成一個數列，恰好只有一個「峰」，求這樣的數列的個
數。
1
2
3
4