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104 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（二）
編號：
（時間一小時）
注意事項：
1. 本試卷共六題填充題，滿分為二十一分。
2. 請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、 (3 分) 坐標平面上的一動點 P 在格子點(即 P 點的 ,
x y 坐標均為整數)
間移動，其移動規則為：若 P 點目前位於格子點 ( , )
m n ，則接下來可選
擇移動至 (
1,
1), (
1, ), (
1,
1)
m
n
m
n
m
n
+
+
+
+
− 三點中的其中一點。若 P 點
自原點
( )
0, 0 出發，依照規則移動到 (7, 0) 可有多少種不同的走法?
二、 (3 分) 設
!
!(
)!
n
m
n
C
m n
m
=
−
，其中的 ! 1 2 3
n
n
= ⋅ ⋅ " 。求
671
2015
1 3
0
k
k
C
+
=
∑
的值。
三、 (3 分) 有多少個不大於 2015 的正整數 n，可以使得
100
0100
01
n
n
"
"
個
個
這
個數成為 37的倍數？
四、 (4 分) 令
1
2
12
,
,
,
x x
x
"
為方程式
12
11
3
1 0
x
x
+
+ = 的12 個根，求
(
)(
)(
) (
)
4
2
4
2
4
2
4
2
1
1
2
2
3
3
12
12
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
+
+
+
"
的值。
五、 (4 分) 設
1
,
,
n
S
S
"
為 n 個相異正整數，且滿足
1
2
1
1
1
104
1
1
1
2015
n
S
S
S
⎛
⎞
⎛
⎞⎛
⎞
−
−
−
=
⎜
⎟
⎜
⎟⎜
⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
"
，求最小正整數 n 的值。
六、 (4 分) 平面上已知 A
∠ 及其內部一定點 P ，過 P 作一直線交 A
∠ 兩邊
於 ,
B C 兩點，若
1,
=15 ,
30
PA
PAC
PAB
= ∠
° ∠
= °
，求
1
1
+
PB
PC
的最大值。