110 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（一）
（時間二小時）
注意事項：
1.
本試卷共五題計算證明題，滿分為 49 分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、求出所有大於
1
的正整數
n
使得
(
1)!
n
為
n
的倍數。
二、設
, , ,
a b c
為三個相異實數。已知方程式
2
1 0
x
ax
和
2
0
x
bx
c
恰有一個相同實根，且方程式
2
0
x
x
a
和
2
0
x
cx
b
也恰有一個相同實根，求
a
b
c
的值。
三、假設小明每天記錄天氣狀況，若沒下雨則記為
S
，下雨則記
為
R
。如果某幾天紀錄為
S S R S S S R R R S S R S S S
，則連續下雨
天的次數為
3
，此時我們記為
3
r
。請注意，即使兩天沒下雨
之間只夾一天下雨，那個下雨天也視為
1
次連續下雨。若二
月份中，有
16
天下雨且
12
天沒下雨，求
5
r
時所有可能的排
列個數。
四、令
1
2
x
，
2
1
+1
2
1
n
n
n
x
x
x
，
1.
n
( )
a
證明：對所有正整數
n
，
n
x
皆成立，其中
1
5
.
2
( )
b
證明：
12
5
10 .
x
五、在
ABC
的邊
AC
的外側作一個圓
K
，
它過頂點
A
且與
AC
切於點
A
。圓
K
與
ABC
的外接圓再交於點
E
且與
AB
的
延長線交於點
.
D
證明：若
BD
AC
則
.
DE
AE
(9 分)
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(10 分)
110 學年度高級中學數學學科能力競賽
中投區複賽試題（一）解答
一、【解】
(1) n 必定是合數
(2)
4
n
因
4
不是
3! 6
的因子
(3)設
6
n
且 n a b
其中
1,
1
a
b
，則
(
1)! 1 2 3
(
1)
n
ab
( )
i
a 為 !
a 的因子(因
1, ,
1
a
ab
a b
)。
(
1) (
2) (
)
ii
a
a
a
b
為
1 !
n
的因子(因
1
a
b
ab
當
6
ab
)，而連續 6 個整數成績必可被b整除。
由
( ),( )
i
ii ，得 (
1)!
n
可被 ab n
整除。
二、【解】
2
2
1
(
1) (
) 0
(
)
(1
) 0
c
x
ax
x
bx
c
a
b x
c
x
a
b
2
2
2
1
1
1 0
1
1
0.....(1)
c
c
a
c
a c
a
b
a
b
a
b
a
b
2
2
0
(1
)
(
) 0
1
a
b
x
x
a
x
cx
b
c x
a
b
x
c
2
2
2
0
(
1)(
)
(
1)
0.....(2)
1
1
a
b
a
b
a
a
b
c
a
b
a c
c
c
2
(1) (2) (1
)(
1)
(
1)(
1)(
) 0
a c
a
c
a
b
(
1)(
1)
1
0
a
c
a
b
c
1,
c
又
1
a
時，
2
1 0
x
x
無實根，則
1
a
1
1
1
1 0
2
a
b
c
x
a
a
又
1
0
1
b
c
b
c
2 1
3
a
b
c
三、【解】
我們假設
5 次連續下雨的天數分別為
1
2
5
, , ,
x x
x
，則
1
2
3
4
5
16
x
x
x
x
x
。
(1)
我們令
1
y
代表第
1 次下雨之前沒下雨的天數，
2
y
為第
1 次下雨與第 2 次下雨之
間沒有下雨的天數，
…，
6
y
代表第六次下雨之後沒有下雨的天數，則
i
y
滿足
:
1
6
,
0
y y
,
2
5
, ,
1
y
y
。
我們令
1
1
6
6
1,
1
z
y
z
y
,
i
i
z
y
,
2,3, 4,5
i
. 此時，
1
2
3
4
5
6
14
z
z
z
z
z
z
. (2)
( )
13
15
2
(1)
5
4
13 15
5
.
5
4
æ ö
æ ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è ø
è ø
æ öæ ö
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è øè ø
首先
共有
個解，
則有
個解。
所以有 次連續下雨的排列數為
四、【解】
( )
a 因為
1
5
2
則
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
(
)
2
1
2
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
……………………………(*)
由
(*) 知
2
0
x
且
1
n
x
n
因此
<
n
x
n N
( )
b 由 (*) 知
2
2
2
1
(
)
(
)
1
(
)
2
1
2
1
5
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
因此
2
4
8
5
4
2
2
3
1
1
1
(
)
(
)
(
)
5
5 5
5 5
x
x
x
x
因
1
2
x
,知
2
5
3
x
且
3
2
5
1
5
7
5
3
2
6
x
x
所以
16
16
3
16
2
7
5
1
(
)
2
3
x
但
2
3
21
7
5
47
5
46.6,
2
2
因此
4
4
2
1
1
(
)
9 (46.6)
400
x
8
8
11
12
5
2
6
3
3
4
1
1
1
(
)
10
10
10
2
5 5
5 5 4
x
x
五、【解】
解法一：因
,
EAC
ABE
ACE
EDA
=
=
, 得
~
EDB
EAC
D
D
. 因此 DE
AE
=
當
且僅當
BD
AC
=
.
解法二：令 F 是
AC
或其延長線上一點使得 AF
AB
=
,
BF
與
ABC
D
的外接圓再交
於點
G
. 因 ABF
D
為等腰三角形（底為 BF ），與之相似
的
GCF
D
也是等腰三角形（底為
FC
）
。
設若 DE
AE
=
，則
EDA
EA
EAC
D
=
=
. 因此
2
2
2
DAC
EAD
ABF
GCF
=
=
=
, 得
EAD
EAC
GCF
=
=
. 所以等腰三角形
,
EAD
GCF
D
D
相似，又
EACG
外接於一圓，且底角相
等，它是等腰梯形，得
GC
AE
=
. 因此
,
AD
CF BD
AC
=
=
.
反之，若
BD
AC
=
, 則
DA
FC
=
.
令
E¢
為圓 K 上一點使得
E A
E D
¢
¢
=
且與
C
在
AB
的同一
側。則如上一段方法可得 E AC
DAE
ABF
GCF
¢
¢
=
=
=
. 因
DA
FC
=
,
,
E AD
GCF
¢
D
D
全等， GC
AE¢
=
, E ACG
¢
為等腰梯形，所以
E¢
是在
ABC
D
的外接圓
上，故它與 E 重合， DE
AE
=
.