110 學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（高雄） 筆試（一）{參考解答}
一、設
𝑛 為大於16 之整數，試證 𝑛
31𝑛
241不可能為完全平
方數。
【參考解答】
：
𝑛
31𝑛
241
𝑛
15
16
𝑛
𝑛
15
，
𝑛
31𝑛
241
𝑛
16
𝑛
14
𝑛
16
，
⇒ 𝑛
16
𝑛
31𝑛
241
𝑛
15
。
故得知
𝑛
31𝑛
241 介於兩連續整數的平方之間，它必不為完全平方數。
二、將正整數 1,2,…,10 任意排成一列，證明至少可以從中選取出
從小到大或從大到小的四個數。
【參考解答】
：令 x(i)表示以 i 為第一項有可能構造出最長遞增數列的最大長
度。如果不存在長度為 4 的遞增數列，則 x(i)可能的值為 1,2,3。因為
3，所以至少有四個數的 x(i)一樣。假設這四個數為𝑎
𝑎
𝑎
𝑎 。如果
a
2
在 a
1
後面，則所有從 a
2
開始的遞增數列，把 a
1
加進去後是一個長度更長的
遞增數列。所以 x(a
1
)不可能等於 x(a
2
)。因此我們知道 a
2
必須在 a
1
前面。同
樣的，a
3
在 a
2
前面，a
4
在 a
3
前面。因此 a
4
, a
3
, a
2
, a
1
就形成一個遞增數列。
三、已知 x, y 均為大於 2 的實數，求滿足
𝑥
𝑦
4
𝑥
2
4
𝑦
2
2
2 √𝑥
2
𝑦
2
的 x, y 之值。
【參考解答】
2
2
2
4
1
)
(
x
x
x
x
f
]
2
)
2
(
2
4
)
2
)(
1
[(
2
1
x
x
x
x
x
]
2
)
2
(
2
)
2
(
)
2
[(
2
1
2
2
x
x
x
x
x
2
]
2
2
[
2
1
x
x
x
而
0
)
(
)
(
y
f
x
f
0
2
2
x
x
0
2
5
2
x
x
2
17
5
y
x
。
四、給定一個銳角三角形 ABC，由三角形的三頂點分別畫出到對邊
的 高，設其中最長的為 h，試證
2√3ℎ大於等於三角形的周長。
【參考解答】：
(a)當銳角三角形 ABC 為正三角形時，則等號成立。
(b)若銳角三角形 ABC 不為等腰三角形時，我們可以將其化簡為等腰三角
形。
不失一般性的，可令
∠𝐴
∠𝐵
∠𝐶，則∠𝐴
。
容易知道由頂點 C 所畫之高即為題目給定的 h。由圖可知，若延長
𝐴𝐵
至點 D 使得
𝐴𝐶
𝐴𝐷。則等腰三角形 ACD 上最長的高亦為 h，且三角
形 ACD 的周長比三角形 ABC 更長。因此，若三角形 ACD 可滿足題意，
三角形 ABC 亦可。
(c)等腰三角形 ACD 上最長的高亦為 h，周長為 S，證明：
2√3ℎ
𝑆
因為
𝑆
2𝐴𝐶
𝐶𝐷，𝐶𝐷
2𝐴𝐶
𝑠𝑖𝑛
∠
，
ℎ
𝐴𝐶
sin ∠𝐴
因此，
2√3ℎ
𝑆 等價於 √3 sin ∠𝐴
1
sin
∠
，(
∠
𝐴
令
𝑥
sin
∠
，(
𝑥
√
)。上式可改為
√3 2𝑥√1
𝑥
1
𝑥
即
0
12𝑥
11𝑥
2𝑥
1
2𝑥
1 𝑥
1 6𝑥
3𝑥
1 。
因為 x 的取值範圍為(
𝑥
√
)，因此式子成立。