110 學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（高雄區） 筆試（二）{參考解答}
一、設
𝑚 與 𝑛 為兩互質的正整數，已知30𝑚
𝑛 與30𝑛
𝑚 兩
數不互質，試求出他們所有的公因數。
【參考解答】
令
𝑑
1 且滿足 𝑑 | 30𝑚
𝑛 和 𝑑 | 30𝑛
𝑚 ，
同乘
30倍可得 𝑑 | 900𝑚
30𝑛 與 𝑑 | 900𝑛
30𝑚 ，
將上兩行相減可得
𝑑 | 899𝑛 與 𝑑 | 899𝑚 ，
因
𝑚 與 𝑛 互質，所以 𝑑 | 899。
29 , 31 , 899
二、設 x,y 為實數，且為下式的解。求 x + y 的值為何?
𝑥
2
2021 𝑥
2
2
𝑦
2
2021 𝑦
2
2
。
【參考解答】
令 a=x-2, b=y-2，則式子可改為
𝑎
2021𝑎
2
𝑏
2021𝑏
2
因此我們有
0
𝑎
𝑏
2021𝑎
2021𝑏
𝑎
𝑏 𝑎
𝑎𝑏
𝑏
2021 𝑎
𝑏
0
𝑎
𝑏 𝑎
𝑎𝑏
𝑏
2021
注意到
𝑎
𝑎𝑏
𝑏
2021
𝑎
𝑏
𝑎
𝑏
2021
0
因此，只可能是
0
𝑎
𝑏
𝑥
2
𝑦
2 ，因此，x+y=4
三、在下右圖的區域中，我們只允許往上下左右相鄰的格子移動。
請問是否存在每一個格子恰好經過一次而且轉彎的次數少於 11
次的路徑？
(須說明或證明妳(你)的答案)
【參考解答】
如果把格子交錯塗成黑色跟白色，會發現它們的個數會差 2。可是對每一
個路徑，黑白格子會間隔出現，所以最多只能差一個，因此這樣的路徑不
存在。
四、設 x 是實數，函數
𝑓 𝑥 滿足𝑓 𝑥
𝑓 𝑥
1
𝑥 。已知
𝑓 10
30， 求𝑓 200 除以 10000 之餘數為何?
【參考解答】
)
10
(
11
)
11
(
3
f
f
)
10
(
11
12
)
11
(
12
)
12
(
3
3
3
f
f
f
……………………………
)
10
(
11
...
199
200
)
200
(
3
3
3
f
f
)
10
(
)
2
)
11
(
10
(
)
2
)
201
(
200
(
2
2
f
30
3025
10000
)
201
(
2
故餘數為7005