110 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（二）
編號：
（時間一小時）
注意事項：
1.
本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿分為二十一分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、 設 a 為實數，若坐標平面上滿足|
| |
| 2
x
y
x
y
與|
2 | | 2
5 |
x
y
x
y
a
的區域面積為
1，求 a
值
。
二、 試求
2021
2
2
1
1
(
2)
(
2)
n
n n
n n
的值。
三、 一個半徑為
1的半圓 O ,其中
AB 為直徑，在
AB 上
有一點 P 使得
1
7
OP
，若有一弦 CD 平行於
AB 且
54
CPD
,問
2
2
CP
DP
的值。
四、 某間餐廳後場有
, ,
A B C D
,
四位廚師，四位廚師出餐數量的比例分別 為
10% 20% 30% 40%
,
,
,
， 依 過 往 經 驗 四 位 廚 師 出 餐 錯 誤 的 比 例 個 別 為
4% 3% 2% 1%
,
,
,
；現在顧客拿到一份製作錯誤的餐點，試求此份餐點是由 B
廚師製作的機率。
五、 請問數列
2
2
2
2
1
2
3
2021
,
,
, ,
2021
2021
2021
2021
中共有幾個相異整數?
註：
x 表示小於或等於 x 的最大整數。
六、 設
( )
P x 為實係數多項式，其次數為 2019 次，且對於
1,2,...,2019
k
，均有
(
1) (
1)
( ) 1
k
P k
kP k
，求 (2021)
P
。
七、 箱中有
2 根香蕉、3顆芭樂、4 顆蓮霧，每次隨機抽取一個水果食用，試求芭
樂為三種水果中最先被吃完的機率。
110 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（二）【解答】
一、
【解】
坐標平面上滿足
1
:|
| |
| 2
x
y
x
y
的區域為中
心
(0,0)
，一頂點為
(1,1)
的正方形。
2
:|
2 | | 2
5 |
x
y
x
y
a
的區域則是對角線為
2
0
x
y
及
2
5 0
x
y
的正方形，其中
a
控制
其大小。由於
2
0
x
y
過
1
的中心，且重疊部分
為 1，
2
的邊界必通過
(0,0)
，亦即
(0,0)
滿足
|
2 | | 2
5 |
x
y
x
y
a
，所以
5
a
。
二、
【解】
原式可化簡為
2021
2021
2021
1
1
1
1
2
1
1
1
2
(
2)(
2
)
2
(
2)
2
1 1
1
1
1
1
1
1
(
)
2 1
3
2
4
3
2021
2023
1 1
1
1
1
(
)
2 1
2
2022
2023
n
n
n
n
n
n n
n
n
n n
n
n
三、
【解】
設定坐標系使得
O
為坐標中心,而
AB
在
x
-軸上,而
半圓位於上半平面, 如圖所示。
記
(cos ,sin ), 0
,
2
D
而
1
( cos ,sin ),
(
,0)
7
C
P
.則
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
( cos
)
sin
(cos
)
sin
7
7
2
1
2
1
cos
cos
sin
cos
cos
sin
7
7
7
7
2 16
2
.
7
7
CP
DP
註：此結果與
CPD
的大小無關。
四、
【解】
已知
10%
P A
、
20%
P B
、
30%
P C
、
40%
P D
|
4%
P F B
、
|
3%
P F B
、
|
2%
P F C
、
|
1%
P F D
(note: F=False)
則
|
P B F
( )
P B
F
P F
P B
F
P A
F
P B
F
P C
F
P D
F
|
|
|
|
|
P B P F B
P A P F A
P B P F B
P C P F C
P D P F D
20% 3%
10% 4% 20% 3% 30% 2% 40% 1%
3
10
五、
【解】
2
2
(
1)
2
1
2021
2021
2021
k
k
k
因為
2
1
1
1010
2021
k
k
所以
2
2
(
1)
2021
2021
k
k
當
1010
k
2
2
(
1)
2021
2021
k
k
或
2
1
2021
k
當
1
1010
k
因此
2
2021
k
在
1011
k
到
2021
皆相異整數
共計 1011 個
因為
2
2
2
1
1010
1011
0,
504,
505
2021
2021
2021
所以
2
2021
k
在
1
k
到
1010
提供了
0
到
504
共計 505 個相異整數
因此總共有 1011+505=1516 個。
六、
【解】
由
(
1) (
1)
( ) 1
k
P k
kP k
可得
1
(1)
( )
,
1, 2,..., 2020.
k
P
P k
k
k
。因此 2020
次多項方程式
( )
1
(1) 0
xP x
x
P
的根為
1, 2,..., 2020
，即
( )
1
(1)
(
1)(
2) (
2020)
xP x
x
P
x
x
x
其中
為常數。將
0
x
代入上式，可得
1
(1)
1
(1)
( 1) ( 2) ( 2020)
2020!
P
P
。
將 2021 代入，可得
1
(1)
2021 (2021) 2021 1
(1)
2020 2019 1
2020!
P
P
P
，
因此，
(2021) 1
P
。
七、
【解】
9 個水果隨機排列數=
9!
=1260
2!3!4!
最後兩個依序為:
香蕉+蓮霧的排列數
7!
=
=140
1!3!3!
蓮霧+香蕉的排列數
7!
=
=140
1!3!3!
最後三個依序為:
香蕉+蓮霧+蓮霧的排列數
6!
=
=60
1!3!2!
蓮霧+香蕉+香蕉的排列數
6!
=
=20
3!3!
最後四個依序為:
香蕉+蓮霧+蓮霧+蓮霧的排列數
5!
=
=20
1!3!1!
最後五個依序為:
香蕉+蓮霧+蓮霧+蓮霧+蓮霧的排列數
4!
=
=4
1!3!
因此，芭樂為三種水果中最先被吃完的機率
140 140 60 20 20 4 /1260 ? 384 /1260 32 /105
。