104 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（一）
編號：
（時間二小時）
注意事項：
1.
本試卷共五題計算證明題，滿分為四十九分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、 ABC
Δ
的 ACB
∠
的分角線交 AB 於 ,
P
1
1
,
A B
分別為
,
A B
對分角線 CL 的對
稱點，
2
2
,
A B
分別為 ,
A B 對點 P 的對稱點，
1
2
,
O O
分別為
1
2
1
2
,
AB B
BA A
Δ
Δ
的外心，證明
1
2
O CA
O CB
∠
= ∠
.
二、已知
, ,
a b c 都是正實數且
3
a
b
c
+ + = ,證明
2
2
2
2
2
2
1
1
1
3
.
2
2
2
4
a
b
b
c
c
a
+
+
≤
+
+
+
+
+
+
三、
( )
a 若
, ,
x y s 為實數，求證
2
2
2
2
[
(1
) ]
(1
)
(1
)(
) .
sx
s y
sx
s y
s
s x
y
+ −
=
+ −
−
−
−
( )
b 若
:
f
→ 為一函數且對所有實數
, ,
x y
不等式
( )
( )
f x
f y
x
y
−
≤ −
均成立。已知實數 ,
u v 滿足
( )
, ( )
,
f u
u f v
v
=
= 求證對所有0
1,
t
≤ ≤
(
(1
) )
(1
) .
f tu
t v
tu
t v
+ −
= + −
四、平面上有相異的 15 個點，將任意兩點連成一直線，共得到 92 條相異的
直線，那麼有多少個不同的三角形可由這 15 個點形成?
五、設 n 為正整數。若數列
1
2
, , ,
n
a a
a
…
滿足
( )
a
1
2
, , ,
n
a a
a
…
中，1, 2, , n
…
恰好各出現一次，
( )
b
, 1,
2,
,
k
ka
k
n
=
…
,皆為完全平方數。
則稱它為完全數列。
例如：當
9
n
=
時，數列 4, 8, 3, 1, 5, 6, 7, 2, 9 為完全數列。
令 ( )
S n 為所有 n 項完全數列的個數，求 (33)
S
.
(10 分)
(10 分)
(10 分)
(9 分)
(10 分)