加載中. ..
PDF
102 學年度高級中學數學學科能力競賽
嘉義區複賽試題（一）
編號：
（時間二小時）
注意事項：
1.
本試卷共四題計算證明題，滿分為四十九分。
2.
請將答案寫在答案欄內，計算紙必須連同試卷交回。
一、在一個桌球單打友誼賽中，有若干隊參賽，每隊各含有若干名選手。根
據比賽規則，不同隊的任兩位選手都須恰比賽一場，而同隊隊員間則互
不比賽。已知總共有11名選手參賽且共舉行了
46
場比賽，請問共有幾隊？
每隊各有多少人？
二、四邊形
ABCD
為圓內接四邊形，兩對角線
AC
和 BD 交於 E 點。令
, , ,
P Q R S
分別代表線段
,
,
,
AB BC CD DA
的中點。試證：
EPS
與
EQR
的
外接圓的半徑相等。
三、已知
a
,
b
,c 為正數且
2
2
2
4
a
b
c
。試證：
12
12
12
2
2
2
4.
a
b
c
a
bc
b
ca
c
ab
四、已知
1
2
100
,
,
,
a a
a
為相異整數且滿足
1
2
100
1
, ,
,
200
a a
a
。假設對任意
1
100
i
j
，
201
i
j
a
a
恆成立，且
100
1
10080
i
i
a
。若
1
2
100
, , ,
a a
a
中
恰有
k
個是奇數，試證：
k
是 4 的倍數。
(12 分)
(12 分)
(12 分)
(13 分)