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102 學年度台南區高級中學數學科能力競賽複賽試題（一）
1.
座標平面上四點
1
2
3
4
(0,1), (1,1), (1,0), (0,0)
P
P
P
P
圍成一正方形。如下圖所示，假設
5
P
為
1 2
P P
之中點，
6
P
為
2 3
P P
之中點，
7
P
是
3 4
P P
之中點，以此步驟繼續下去可生成數
列{
𝑃
𝑛
}：
令
𝑃
𝑛
的座標為
(𝑥
𝑛
, 𝑦
𝑛
)，求
500
501
502
503
504
505
506
507
(
2
2
2
)(2
4
4
4
)
x
x
x
x
y
y
y
y
之值。
2.
設實數
𝑎, 𝑏滿足𝑎 + 𝑏 = 2，試求
5
1
2
1
3
b
a
的最大值，並說明此時𝑎, 𝑏之值。
3.
設 A 、 B 、
C
、 D 是四邊形
ABCD
的四個內角。
證明：
cos
cos
cos
cos
A
B
C
D
＝ 4cos
cos
cos
2
2
2
A B
B C
C
A
4. 設函數
:
f
R
R 對所有實數
x
和對所有大於
8
10
的實數 y 恆有
2
.
0
)
(
)
(
2
)
2
(
x
f
y
x
f
y
x
f
試證明
f
對任意實數
y
x,
恆滿足
4
.
0
)
(
)
(
2
)
2
(
x
f
y
x
f
y
x
f