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一百學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（台南區） 筆試（二）
注意事項：
(1)時間分配：1 小時
(2)本試卷共四題，滿分 21 分。第一題 3 分，第二題 6 分，第三題 6 分，第四題 6 分。
(3)將計算ヽ證明過程依序寫在答案卷上。
(4)不可使用電算器。
(5)試題與答案卷一同繳回。
一、已知 x 為不等於零的正實數且滿足
x
x
f
x
f
25
)
5
1
(
2
)
5
(
3
2
2
，求
)
5
(
f
之值？
二、設 p、q 是兩實數，若方程式
0
13
11
2
2
x
x
的兩根亦是
0
2
4
q
px
x
之根，
試求
2011
2
)
(
q
p
的末三位數字(其中[x]表示不超過 x 的最大整数)。
三、如右下圖，線段 AB 為以點 O 為圓心的直徑，點 C 為上半圓上的一點，已知線段 AB
的長為 5 且線段 AC 的長為 4，線段 CD 垂直線段 AB 且交線段 AB 於 D 點。圓
1
O
與
圓 O 相切於 E 點且分別與線段 CD 及線段 AB 相切。圓
2
O
與圓 O 相切於 F 點，且
分別與線段 CD 及線段 AB 相切。試求線段
2
1
O
O
的長。
四、設 P(x)為實係數多項式，且
)
6
(
)
2
(
)
(
2
x
P
x
P
x
P
對於任意實數 x 均恆成立，
求滿足這些條件的所有 P(x)。