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109學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（台南區） 筆試（一）{參考解答}
一、如圖所示，正方形𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴的邊長為2，點𝐸𝐸和𝐹𝐹分別在邊𝐴𝐴𝐴𝐴和𝐴𝐴𝐴𝐴上，使得∆𝐴𝐴𝐸𝐸𝐹𝐹
的周長為4，試求：
(1) ∠𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹的度數；
(2) ∆𝐸𝐸𝐴𝐴𝐹𝐹
面積的最小值。
【參考解答】
(1).延長CB至G，使BG =DF，則∆ABG ≅ ∆ADF。因此，AG =AF，∠GAB =
∠FAD，∠FAG =∠DAB =90°。
因為EF = 4 −CF −CE = 2 −CF + 2 −CE =DF +BE =BG +BE =EG
且AE共用
所以∆AEF ≅ ∆AEG，故∠EAF =∠EAG =1
2∠𝐹𝐹𝐴𝐴𝐹𝐹 =45°。
(2).設CE =𝑥𝑥，CF =𝑦𝑦，EF =𝑧𝑧，則 �𝑥𝑥+𝑦𝑦+𝑧𝑧= 4
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2=𝑧𝑧2⟺ �𝑥𝑥= 4 −𝑦𝑦−𝑧𝑧
𝑥𝑥2+𝑦𝑦2=𝑧𝑧2
於是(4 −𝑦𝑦 −𝑧𝑧)2+𝑦𝑦2=𝑧𝑧2⟹2𝑦𝑦2+(2𝑧𝑧−8)𝑦𝑦+(16 −8𝑧𝑧)= 0
因為y > 0，考慮判別式D = 4(𝑧𝑧−4)2−64(2 −𝑧𝑧)≥0，即
(z + 4 + 4√2)(z + 4 −4√2) ≥0
又因為z > 0，所以z≥4√2−4。當x = y = 4 −2√2時等號成立。
∆EAF的面積=∆FAG的面積=1
2𝐸𝐸𝐹𝐹 ×𝐴𝐴𝐴𝐴 =1
2𝑧𝑧× 2 = 𝑧𝑧 ≥ 4√2−4
故∆EAF面積的最小值為4√2−4。
二、已知函數 f的定義域為正整數而其函數值為非負整數，並滿足
f(m + n) – f(m) – f(n) = 0 或1，f(1) = 0, f(2) > 0,
f(300) = 150。
試求 f(109)之值?
【參考解答】：m=n=1 時會得到 f(2)=0 或1，所以我們知道 f(2)=1。從
f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或1可以得到 f(m+2)的可能值為 f(m)+1 或f(m)+2，或
者說最小的可能性為 f(m)+1，而 f(m+4)的最小可能性為 f(m)+2。由此推知，
f(300)最小的可能性為 150 符合給定的條件 。也就是說，當 m,n 都是偶數
是會滿足 f(m+n)-f(m)-f(n)=0 或f(2k)=k。
當n=2k+1 奇數時，f(2k+1)=f(2k)+f(1)+0 或1，因此 f(2k+1)=k 或k+1，
如果有某個 2k+1=<109 滿足 f(2k+1)=k+1，則 f(4k+2)=f(2k+1)+f(2k+1)+0
或1，或者說 f(4k+2)=2k+2 或2k+3，和已知 f(4k+2)=2k+1 矛盾。
所以我們就知道 f(109)=f(2*54+1)=54。
三、設𝑓𝑓(4𝑎𝑎)+ 4𝑓𝑓(𝑏𝑏)=𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑎𝑎+𝑏𝑏))，函數 f的定義域及值域均為整數，求此函
數為何?
【參考解答】b = x a = 0，𝑓𝑓(0)+ 4𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥))
a = 1，𝑓𝑓(4)+ 4𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑓𝑓�𝑓𝑓(𝑥𝑥+ 1)�=𝑓𝑓(0)+ 4𝑓𝑓(𝑥𝑥+ 1)
𝑓𝑓(4)−𝑓𝑓(0)
4=𝑓𝑓(𝑥𝑥+ 1)−𝑓𝑓(𝑥𝑥)
故𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑚𝑚𝑥𝑥 +𝑛𝑛
𝑚𝑚(4𝑎𝑎)+𝑛𝑛+ 4(𝑚𝑚𝑏𝑏+𝑛𝑛)=𝑚𝑚(𝑚𝑚(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+𝑛𝑛)+𝑛𝑛
4𝑚𝑚(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+ 5𝑛𝑛=𝑚𝑚2(𝑎𝑎+𝑏𝑏)+𝑚𝑚𝑛𝑛+𝑛𝑛
所以 m = 0, n = 0；m = 4, 𝑛𝑛 ∈ ℤ
因此 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 0 或 𝑓𝑓(𝑥𝑥)= 4𝑥𝑥+𝑛𝑛, 𝑛𝑛 ∈ ℤ
四、從 1 到2020 這2020 個正整數中，最多可以取出多少個相異數，使得所取
出的數中任意 5 個數的和均為 55 的倍數?(答案須詳敘理由)
【參考解答】設
n
aa
a<<<
21
符合所求
對任意 6個數
omlkji
aaaaaa <<<<<
, , i, j, k, l, m, o = 1, 2, ….., n
omlki
aaaaa ++++|55
,
omlkj aaaaa ++++|55
ij
aa −|55
ii
l
aa 55
1
+=
, i = 1, 2, ….., n
54
3
21
|55 aa
a
aa ++
++
所以
54
3
21
55
5555
555
|
55 l
ll
l
a+
++
+
1
5|55 a
,
1
|11 a
,
11
1
≥
a
又
37
55 112020
55 1<
−
≤
−
=aa
ln
n
36≤
n
l
, 故37 個
11, 11+55×1, 11+55×2, 11+55×3, ……, 11+55×36.