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109 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第6 區(屏東高中) 筆試(一)試題與解答
注意事項 :
本試卷共 4題，滿分 49 分。第一題 12 分，第二題 12 分，第三題 12 分，第四題 13 分。
一、證明 : 若自然數 𝒏 不被 5 整除，則 𝒏𝟖+𝟑𝒏𝟒−𝟒 可被 100 整除。
[參考解答]
考慮因式分解 𝑛8+3𝑛4−4 = (𝑛2+1)(𝑛2−1)(𝑛4+4)
(1) 𝑛8+3𝑛4−4 可被 4 整除
自然數 n 可表示為 2k 或 2k-1 形式，其中 k 為自然數。
(a) n=2k
𝑛4+4 可被 4 整除，
所以， 𝑛8+3𝑛4−4 可被 4 整除。
(b) n=2k-1
𝑛2−1 = 4𝑘2−4𝑘+1−1 可被 4 整除，
所以， 𝑛8+3𝑛4−4 可被 4 整除。
(2) 𝑛8+3𝑛4−4 可被 25 整除
因為 自然數 n 不被 5 整除，
所以，n 可表示為 5k±1 或 5k±2 形式，其中 k 為自然數。
(a) n = 5k±1
𝑛4+4 與 𝑛2−1 可被 5 整除，
所以， 𝑛8+3𝑛4−4 可被 25 整除。
(b) n = 5k±2
𝑛4+4 與 𝑛2+1 可被 5 整除，
所以， 𝑛8+3𝑛4−4 可被 25 整除。
所以，由(1)與(2)，𝑛8+3𝑛4−4 可被 100 整除。 ◼
二、在圓內接一個梯形 ABCD 如下圖，又內接一個三角形 MNL，其邊平行梯形的邊，也
就是 𝐀𝐁 ‖𝐂𝐃 ‖𝐋𝐌，𝐀𝐃 ‖𝐋𝐍，𝐁𝐂 ‖𝐌𝐍，作 𝐍𝐐 ⊥𝐋𝐌 交 𝐋𝐌 於 𝐐。 已知
∠𝐍𝐌𝐋 =𝟔𝟎°，𝐐𝐌 = 𝟐， AB 為圓的直徑。試求梯形 ABCD 的面積。
[參考解答] 梯形 ABCD面積 = 4√3
連接 AC，作 CP⊥AB 交AB 於P。作 NQ⊥LM 交LM 於Q，交圓 O於R，如下圖。
因為圓內接梯形 ABCD，AB ‖ CD，所以 AD =BC，
AB+CD = 2CD+2BP = 2AP
(式1)
對於內接三角形 MNL，
∵ {AB ‖ LM，AD ‖LN，BC ‖MN
∠DAB = ∠CBA
∴ ∠NLM = ∠NBL =60°
⟹ △MNL 為正三角形
⟹ LN = MN， NR 為圓 O的直徑
而且
∠3 =∠2 =∠1 = ∠NML = 60°
⟹ ∠4 =∠1 =60°，∠5 =∠6 =30°
⟹ △ ABC ≅ △ NRM，△ APC ≅ △ NQM，AC =LN =MN
Q
⟹ PC =QM = 2
且
△APC面積 =△NQM 面積
(式2)
由(式1)，(式2) 計算梯形 ABCD 的面積的到
梯形 ABCD面積 =1
2(AB+CD)∙CP =AP∙CP = 2△QMN 面積 = 2∙1
2∙2∙2√3
梯形 ABCD面積 = 4√3 。
(或是 1
2(AB+CD)∙CP =1
2(2√3+ 2
√3+2√3− 2
√3)∙2 = 4√3) ◼
三、將 1, 2, 3, 4, 5 這五個整數排成一排，且其中任意連續三個數之和都被這三個
數中的第一個數整除。
a. 若最後一個數是奇數，則滿足條件的排法有多少，
b. 若最後一個數是偶數，則滿足條件的排法有多少。
[參考解答] a. 5種; b. 10 種
設五個數依序為𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5。
若𝑎𝑖|𝑎𝑖+𝑎𝑖+1 +𝑎𝑖+2成立，則𝑎𝑖|𝑎𝑖+1 +𝑎𝑖+2。
因僅有兩個偶數，故若𝑎𝑖為偶數且1 ≤ i ≤ 3，則𝑎𝑖+1與𝑎𝑖+2皆為奇數。
a.
因若𝑎𝑖為偶數且1 ≤ i ≤ 3，則𝑎𝑖+1與𝑎𝑖+2皆為奇數。故𝑎1,𝑎2,𝑎3至多僅有一個偶數。
且因𝑎5為奇數。可知𝑎4為偶數且𝑎1,𝑎2,𝑎3中恰有一個偶數。
且因𝑎4為偶數，𝑎1,𝑎2,𝑎3中的偶數必為𝑎1。
若𝑎1= 2，𝑎4= 4。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(2,1,3,4,5)，(2,3,5,4,1)，(2,5,1,4,3)。
若𝑎1= 4，𝑎4= 2。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(4,3,1,2,5)，(4,5,3,2,1)。
共5種排列。
b.
因𝑎5為偶數，若𝑎3為偶數，則𝑎4亦為偶數，矛盾。
設𝑎1為偶數。
若𝑎1= 2，𝑎5= 4。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(2,1,3,5,4)，(2,3,1,5,4)，(2,3,5,1,4)。
若𝑎1= 4，𝑎5= 2。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(4,3,1,5,2)。
設𝑎2為偶數。
若𝑎2= 2，𝑎5= 4。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(3,2,1,5,4)，(1,2,3,5,4)。
若𝑎2= 4，𝑎5= 2。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(1,4,5,3,2)，(5,4,1,3,2)。
設𝑎4為偶數。
若𝑎4= 2，𝑎5= 4。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(1,5,3,2,4)。
若𝑎4= 4，𝑎5= 2。
考慮 5所在的位置，可得出滿足條件的排列為(3,5,1,4,2)。
共10 種排列。 ◼
四、令
2)2(log)2(log 22 =−++ yxyx
，試證
3− yx
。
[參考解答]
因為
2)2(log)2(log 22 =−++ yxyx
所以
44 22 =− yx
且
02,02 −+ yxyx
，因此
0x
因為
2
44 yx +=
所以
yx
令
0−= yxt
則
tyx +=
因此
044)( 22 =−−+ yty
所以
0423 22 =−+− ttyy
判別式
0)4(34)2( 22 −••−− tt
(因為有解)所以
3−= yxt
◼