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110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第5區(屏東高中) 筆試(一) 編號：
注意事項 :
(1) 時間分配: 2 小時。
(2) 本試卷共4題，滿分49分。第一題12分，第二題12分，第三題12分，第四題13分。
(3) 將計算、證明過程依序寫在答案卷上。
(4) 不可使用電算器。
(5) 試題與答案一同繳回。
一、令多項式𝒑𝒑(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒂𝒂𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒃𝒃𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄𝒙𝒙+𝒅𝒅且𝒅𝒅=𝒄𝒄𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟐𝟐，𝒂𝒂≠𝟎𝟎。
(1) 試求𝒃𝒃 (以𝒂𝒂, 𝒄𝒄表示)的值使得𝒑𝒑(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒂𝒂𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒃𝒃𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄𝒙𝒙+𝒅𝒅為二階多項式
的平方。(即存在𝒎𝒎與𝒏𝒏使得𝒑𝒑(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒂𝒂𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒃𝒃𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄𝒙𝒙+𝒅𝒅=(𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒎𝒎𝒙𝒙+𝒏𝒏)𝟐𝟐)
(2) 試求𝒙𝒙𝟒𝟒+𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑−𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟔𝟔𝒙𝒙+𝟗𝟗的根。
二、試證明 : 𝟏𝟏
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏<𝟏𝟏
𝟐𝟐×𝟑𝟑
𝟒𝟒×𝟓𝟓
𝟔𝟔× … × 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏𝟗𝟗
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎<𝟏𝟏
𝟒𝟒𝟒𝟒。
三、設𝒂𝒂與𝒃𝒃皆為正實數，且𝒂𝒂+𝒃𝒃=𝒔𝒔。
(1) 試求出𝒂𝒂𝒃𝒃的最大值(以𝒔𝒔表示)。
(2) 若𝒔𝒔=𝟐𝟐，試求出�𝒂𝒂+𝟏𝟏
𝒂𝒂��𝒃𝒃+𝟏𝟏
𝒃𝒃�的最小值。
(3) 若𝒔𝒔=𝟐𝟐√𝟔𝟔，試求出�𝒂𝒂+𝟏𝟏
𝒂𝒂��𝒃𝒃+𝟏𝟏
𝒃𝒃�的最小值。
四、已知 𝑷𝑷 為三角形 △𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 內部之一點，且 ∠𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨=∠𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨=∠𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨=𝜶𝜶，
試證明：𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝜶𝜶=𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝑨𝑨+𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝑨𝑨+𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝑨𝑨。
(定義: 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽=𝟏𝟏
𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽)
110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第5區(屏東高中) 筆試(一) 編號：
注意事項 :
本試卷共4題，滿分49分。第一題12分，第二題12分，第三題12分，第四題13分。
一、令多項式𝒑𝒑(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒂𝒂𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒃𝒃𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄𝒙𝒙+𝒅𝒅且𝒅𝒅=𝒄𝒄𝟐𝟐
𝒂𝒂𝟐𝟐，𝒂𝒂≠𝟎𝟎。
(1) 試求𝒃𝒃 (以𝒂𝒂, 𝒄𝒄表示)的值使得𝒑𝒑(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒂𝒂𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒃𝒃𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄𝒙𝒙+𝒅𝒅為二階多項式
的平方。(即存在𝒎𝒎與𝒏𝒏使得𝒑𝒑(𝒙𝒙)=𝒙𝒙𝟒𝟒+𝒂𝒂𝒙𝒙𝟑𝟑+𝒃𝒃𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒄𝒄𝒙𝒙+𝒅𝒅=(𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒎𝒎𝒙𝒙+𝒏𝒏)𝟐𝟐)
(2) 試求𝒙𝒙𝟒𝟒+𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑−𝟐𝟐𝟎𝟎𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟔𝟔𝒙𝒙+𝟗𝟗的根。
[參考解答]
(A) 令
22234
)(x)( nmxdcxbxaxxxp ++=++++=
比較係數
則
a
c
n
a
m== ,
2
，因此
a
ca
b2
4
2
+=
(B)
)3)331()(3)331((27)3(96202 22222234 ++++−+=−++=++−+ xxxxxxxxxxx
可得
x = −1 + 3√3 ± �16 −3√3
2,−1−3√3 ± �16 + 3√3
2
二、試證明 : 𝟏𝟏
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏<𝟏𝟏
𝟐𝟐×𝟑𝟑
𝟒𝟒×𝟓𝟓
𝟔𝟔× … × 𝟐𝟐𝟎𝟎𝟏𝟏𝟗𝟗
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟎𝟎<𝟏𝟏
𝟒𝟒𝟒𝟒。
[參考解答]
(1) 1
2×3
4×5
6× … × 2019
2020>1
3×3
5×5
7× … × 2019
2021>1
2021
(2)
1
2<2
3
3
4<4
5
5
6<6
7
…
2019
2020<2020
2021
左式相乘小於右式相乘，
所以，1
2×3
4×5
6× … × 2019
2020<2
3×4
5×6
7×…×2020
2021=2×4×6×…×2020
1×3×5×…×2019×1
2021
令 x = 1
2×3
4×5
6× … × 2019
2020，所以，x < 1
𝑥𝑥×1
2021，𝑥𝑥2<1
2021<1
442
，
所以
，
𝑥𝑥<1
44 。
三、設𝒂𝒂與𝒃𝒃皆為正實數，且𝒂𝒂+𝒃𝒃=𝒔𝒔。
(1) 試求出𝒂𝒂𝒃𝒃的最大值(以𝒔𝒔表示)。
(2) 若𝒔𝒔=𝟐𝟐，試求出�𝒂𝒂+𝟏𝟏
𝒂𝒂��𝒃𝒃+𝟏𝟏
𝒃𝒃�的最小值。
(3) 若𝒔𝒔=𝟐𝟐√𝟔𝟔，試求出�𝒂𝒂+𝟏𝟏
𝒂𝒂��𝒃𝒃+𝟏𝟏
𝒃𝒃�的最小值。
[參考解答]
(1)利用算幾不等式，可得𝑎𝑎𝑎𝑎≤�𝑎𝑎+𝑏𝑏
2�2=𝑠𝑠2
4
(2)�𝒂𝒂+𝟏𝟏
𝒂𝒂��𝒃𝒃+𝟏𝟏
𝒃𝒃�=𝐚𝐚𝐚𝐚+𝟏𝟏
𝒂𝒂𝒃𝒃+𝒃𝒃
𝒂𝒂+𝒂𝒂
𝒃𝒃=𝐚𝐚𝐚𝐚+𝟏𝟏+𝒂𝒂𝟐𝟐+𝒃𝒃𝟐𝟐
𝒂𝒂𝒃𝒃 =𝐚𝐚𝐚𝐚+𝟏𝟏
𝒂𝒂𝒃𝒃+(𝒂𝒂+𝒃𝒃)𝟐𝟐−𝟐𝟐𝒂𝒂𝒃𝒃
𝒂𝒂𝒃𝒃
=𝒂𝒂𝒃𝒃+𝒔𝒔𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒂𝒂𝒃𝒃 −𝟐𝟐≥𝟐𝟐�𝒔𝒔𝟐𝟐+𝟏𝟏−𝟐𝟐
因𝑎𝑎𝑎𝑎≤𝑠𝑠2
4=1<√𝑠𝑠2+ 1 = √5，最小值出現於𝑎𝑎𝑎𝑎= 1，最小值為 4。
(3) 因𝑎𝑎𝑎𝑎≤𝑠𝑠2
4= 6，且√𝑠𝑠2+ 1 = √25 = 5，最小值出現於𝑎𝑎𝑎𝑎= 5，最小值為 8。
四、已知 𝑷𝑷 為三角形 △𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 內部之一點，且 ∠𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨=∠𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨=∠𝑷𝑷𝑨𝑨𝑨𝑨=𝜶𝜶，
試證明：𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝜶𝜶=𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝑨𝑨+𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝑨𝑨+𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝟐𝟐𝑨𝑨。
(定義: 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝜽𝜽=𝟏𝟏
𝐜𝐜𝐬𝐬𝐬𝐬𝜽𝜽)
[參考解答]
在 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 中，由正弦定理知
𝐴𝐴𝐴𝐴
�
�
�
�
sin𝛼𝛼=𝑏𝑏
sin∠𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝑏𝑏
sin�180°−𝐴𝐴�=𝑏𝑏
sin𝐴𝐴 ⇒ 𝐴𝐴𝐴𝐴
�
�
�
�
=𝑎𝑎sin𝛼𝛼
sin𝐴𝐴
所以 △𝐴𝐴𝐴𝐴𝑃𝑃面積 =1
2𝑐𝑐𝐴𝐴𝐴𝐴
�
�
�
�
sin𝛼𝛼=1
2𝑐𝑐𝑎𝑎sin2𝛼𝛼
sin𝐴𝐴= △𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴面積⋅sin2𝛼𝛼
sin2𝐴𝐴
同理 △𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴面積 = △𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴面積⋅sin2𝛼𝛼
sin2𝑃𝑃， △𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴面積 = △𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴面積⋅sin2𝛼𝛼
sin2𝐴𝐴
上列三個式子相加可得
△𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴面積 = △𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴面積⋅ �sin2𝛼𝛼
sin2𝐴𝐴+sin2𝛼𝛼
sin2𝑃𝑃+sin2𝛼𝛼
sin2𝐴𝐴�
⇒ 1
sin2𝛼𝛼= 1
sin2𝐴𝐴+1
sin2𝐵𝐵+1
sin2𝐴𝐴
⇒ csc2𝛼𝛼=csc2𝐴𝐴+csc2𝑃𝑃+csc2𝐴𝐴