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110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第5區(屏東高中) 筆試(二) 編號：
注意事項 :
(6) 時間分配: 1 小時。
(7) 本試卷共4題，滿分21分。第一題5分，第二題5分，第三題5分，第四題6分。
(8) 將計算、證明過程依序寫在答案卷上。
(9) 不可使用電算器。
(10)試題與答案一同繳回。
一、設𝒙𝒙、𝒚𝒚與𝒛𝒛皆為質數，試求出所有滿足下列方程式的序對(𝒙𝒙,𝒚𝒚,𝒛𝒛)：
𝒙𝒙𝒚𝒚−𝒛𝒛=𝟏𝟏，𝒛𝒛≤𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏。
二、給定 30 個互不相等的正整數，這些數字均小於或等於 155。試證明這些數字兩兩
相減(大數減小數)所得的差之中，至少有四個相等。
三、試求出下列級數之值：
�(−𝟏𝟏)𝒏𝒏
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏
𝒏𝒏=𝟏𝟏 𝒏𝒏𝟐𝟐+𝒏𝒏+𝟏𝟏
𝒏𝒏!
四、已知𝒎𝒎為實數，考慮圓系𝑨𝑨: 𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝟐𝟐(𝒎𝒎−𝟏𝟏)𝒙𝒙−𝟐𝟐𝒎𝒎𝒚𝒚+𝟑𝟑𝒎𝒎𝟐𝟐−𝟐𝟐=𝟎𝟎。
(1) 上列所表實圓最大面積 = ，此時 𝒎𝒎= 。
(2) 上列所表圓截𝒙𝒙軸所得最大弦長 = 。
110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第5區(屏東高中) 筆試(二) 編號：
注意事項 :
本試卷共4題，滿分21分。第一題5分，第二題5分，第三題5分，第四題6分。
一、設𝒙𝒙、𝒚𝒚與𝒛𝒛皆為質數，試求出所有滿足下列方程式的序對(𝒙𝒙,𝒚𝒚,𝒛𝒛)：
𝒙𝒙𝒚𝒚−𝒛𝒛=𝟏𝟏，𝒛𝒛≤𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏。
[參考解答]
因為
zxy=−1
且
1, >y
x
所以
1−x
整除
1
−
y
x
，唯有
2=x
時
1
−
y
x
才有可能是質數。
因為
202112 ≤=− z
y
，所以需求質數
y
使得
20211
2≤−
y
，因此
7,5,3,2=y
127,31,7,312,12,12,12 7532 =−−−−=z
所以
)127,7,2(),31,5,2(),7,3,2(),3,2,2(),,( =zyx
二、給定 30 個互不相等的正整數，這些數字均小於或等於 155。試證明這些數字兩兩
相減(大數減小數)所得的差之中，至少有四個相等。
[參考解答]
將30 個正整數由小到大排列，記為𝑎𝑎1,𝑎𝑎2,……,𝑎𝑎30。
若命題不成立，則𝑎𝑎30−𝑎𝑎29,𝑎𝑎29−𝑎𝑎28,……,𝑎𝑎2−𝑎𝑎1共29 個數之中，沒有四個相等。
可知1,2, … … ,9至多出現三次，而 10 至多出現兩次。
由154 ≥𝑎𝑎30−𝑎𝑎1=(𝑎𝑎30−𝑎𝑎29)+(𝑎𝑎29−𝑎𝑎28)+⋯+(𝑎𝑎2−𝑎𝑎1)≥3(1 + 2 + ⋯+ 9)+
2 × 10 =155，可得出矛盾。
三、試求出下列級數之值：
∑(−𝟏𝟏)𝒏𝒏
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟐𝟐𝟏𝟏
𝒏𝒏=𝟏𝟏 𝒏𝒏𝟐𝟐+𝒏𝒏+𝟏𝟏
𝒏𝒏! .
[參考解答]
�(−1)𝑛𝑛
2021
𝑛𝑛=1 𝑛𝑛2+𝑛𝑛+ 1
𝑛𝑛!=�(−1)𝑛𝑛
2021
𝑛𝑛=1 �𝑛𝑛
(𝑛𝑛−1)!+𝑛𝑛+ 1
𝑛𝑛!�
(−1)�1
0!+2
1!�+�2
1!+3
2!�−�3
2!+4
3!�+⋯+(−1)�2021
2020!+2022
2021!�
=−1 + (−1) 2022
2021!
=−1−2022
2021!
四、已知𝒎𝒎為實數，考慮圓系𝑨𝑨: 𝒙𝒙𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝟐𝟐(𝒎𝒎−𝟏𝟏)𝒙𝒙−𝟐𝟐𝒎𝒎𝒚𝒚+𝟑𝟑𝒎𝒎𝟐𝟐−𝟐𝟐=𝟎𝟎。
(1) 上列所表實圓最大面積 = ，此時 𝒎𝒎= 。
(2) 上列所表圓截𝒙𝒙軸所得最大弦長 = 。
[參考解答] (1) 實圓最大面積 = 4𝜋𝜋，此時 𝑚𝑚= −1
(2) 最大弦長=√14
(1) 圓𝐴𝐴之半徑 𝑟𝑟=1
2�4(𝑚𝑚−1)2+ 4𝑚𝑚2−4(3𝑚𝑚2−2)=√−𝑚𝑚2−2𝑚𝑚+ 3
=�−(𝑚𝑚+ 1)2+ 4 ≤ √4 = 2
所以 𝑟𝑟 之最大值 = 2，實圓最大面積 = 𝜋𝜋⋅22= 4𝜋𝜋，此時 𝑚𝑚= −1
(2) 令 𝑦𝑦= 0，𝑥𝑥2+ 2(𝑚𝑚−1)𝑥𝑥+ 3𝑚𝑚2−2 = 0 二根為 𝑥𝑥1、𝑥𝑥2 得知
�𝑥𝑥1+𝑥𝑥2=−2(𝑚𝑚−1)
𝑥𝑥1𝑥𝑥2= 3𝑚𝑚2−2
△=(𝑚𝑚−1)2−3𝑚𝑚2+ 2 > 0
設所截弦長 ≡𝐴𝐴𝑃𝑃
�
�
�
�
=|𝑥𝑥1−𝑥𝑥2|，則
𝐴𝐴𝑃𝑃
�
�
�
�
2=(𝑥𝑥1−𝑥𝑥2)2=(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)2−4𝑥𝑥1𝑥𝑥2
= 4(𝑚𝑚−1)2−4(3𝑚𝑚2−2)
=−8�𝑚𝑚+1
2�2+14 ≤14
所以 𝐴𝐴𝑃𝑃
�
�
�
�
之最大值 =√14