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110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第5區(屏東高中)
口試(一)
設𝐴𝐴(𝑥𝑥)是一個實數係數多項式，且
𝑊𝑊(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+ 1)𝐴𝐴(𝑥𝑥−1)−(𝑥𝑥−1)𝐴𝐴(𝑥𝑥)是一個常數多項式。
試求出所有滿足條件的多項式 𝐴𝐴(𝑥𝑥)。
[參考解答]
令 𝑊𝑊(𝑥𝑥)=(𝑥𝑥+ 1)𝐴𝐴(𝑥𝑥−1)−(𝑥𝑥−1)𝐴𝐴(𝑥𝑥)
將 x=-1 帶入 W(x)，W(-1)=2P(-1)，
將 x= 1 帶入 W(x)，W(1)=2P(0)，
因為 W(x) 為常數，所以，P(-1)=P(0)。
令 c = 𝐴𝐴(−1)=𝐴𝐴(0) (常數)
令 Q(𝑥𝑥)=𝐴𝐴(𝑥𝑥)−𝑐𝑐，則 0, -1 是 Q(x) 的根，
Q(x)可以表示成 Q(x)= x(𝑥𝑥+ 1)𝑅𝑅(𝑥𝑥)，其中 R(x) 是實數係數多項式。
P(x)=Q(x) + c = x(x+1)R(x)+c 帶入 W(x) 得
(𝑥𝑥+ 1)�(𝑥𝑥−1)𝑥𝑥𝑅𝑅(𝑥𝑥−1)+𝑐𝑐�−(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥(𝑥𝑥+ 1)𝑅𝑅(𝑥𝑥)+𝑐𝑐)
化簡表示為 𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+ 1)�𝑅𝑅(𝑥𝑥−1)−𝑅𝑅(𝑥𝑥)�+ 2𝑐𝑐
因為 W(x)為常數，所以 𝑥𝑥(𝑥𝑥−1)(𝑥𝑥+ 1)�𝑅𝑅(𝑥𝑥−1)−𝑅𝑅(𝑥𝑥)� 也是常數
𝑅𝑅(𝑥𝑥−1)−𝑅𝑅(𝑥𝑥)= 0
所以，R(x)為常數，設為 k。 𝑄𝑄(𝑥𝑥)=𝑘𝑘𝑥𝑥(𝑥𝑥+ 1)
𝐴𝐴(𝑥𝑥)=𝑄𝑄(𝑥𝑥)+𝑐𝑐=𝑘𝑘𝑥𝑥(𝑥𝑥+ 1)+ c
所以，P(𝑥𝑥)=𝑘𝑘𝑥𝑥2+𝑘𝑘𝑥𝑥+𝑐𝑐 (k≠0, 二次多項式)，或 𝑐𝑐 (k=0, 常數多項式)。
110 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第5區(屏東高中)
口試(二)
已知 △𝐴𝐴𝑃𝑃𝐴𝐴 為直角三角形，其中 𝐴𝐴𝑃𝑃
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=13、𝐴𝐴𝐴𝐴
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= 5、𝑃𝑃𝐴𝐴
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=12。
一個質點 𝐴𝐴 沿著𝐴𝐴𝑃𝑃
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作直線運動。
設 𝐴𝐴𝑃𝑃
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=𝑒𝑒、𝐴𝐴𝐴𝐴
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�
=𝑑𝑑，試問當 𝑒𝑒 值愈來愈大時，(𝑑𝑑−𝑒𝑒) 值的變化為
何 ?
[參考解答] (𝑑𝑑−𝑒𝑒) 值將趨近於 12
如右圖，𝑑𝑑2=(𝑒𝑒+12)2+ 52 得
𝑑𝑑=√𝑒𝑒2+24𝑒𝑒+169
⇒ 𝑑𝑑−𝑒𝑒=√𝑒𝑒2+24𝑒𝑒+169 −𝑒𝑒
= 𝑒𝑒2+24𝑒𝑒+169−𝑒𝑒2
√𝑒𝑒2+24𝑒𝑒+169+𝑒𝑒
= 24+169
𝑒𝑒
�1+24
𝑒𝑒+169
𝑒𝑒2 +1
由上式可知，當 𝑒𝑒 值愈來愈大時，24
𝑒𝑒、169
𝑒𝑒 與 169
𝑒𝑒2 值會愈來愈小，所以可推得
(𝑑𝑑−𝑒𝑒) 值將會趨近於 12.
A
C
B
P
d
e
5
12
13