1
B
C
D
E
F
G
J
I
H
A
K
L
臺南市 108 年公私立國民中學數學競賽複賽試題
注意事項：
1. 試題所提供圖形僅供參考。
2. 本試卷共有三頁，分為兩大題，第一大題為 1 到 10 題每題 4 分；第二大題為 11 到 22 題每題 5 分
第一大題：
1. 已知 a b c
、 、 為三正整數，如果 a 是15 的倍數， b 是12 的倍數，且 c 是 21 的倍數，則下列何者必成立?
(A) a b c
+ + 必為 9 的倍數 (B) a b c
+ + 必為偶數 (C)
2
(
)
a b c
+ +
必為 9 的倍數
(D)
2
2
2
a
b
c
+ 必為15 的倍數
2. 試問一元一次方程式
99
100
99
4
3
3
2
2
1
x
x
x
x
的解為何？
(A)
100
1
(B)
99
1
(C) 99 (D) 100
3. 化簡
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
的值為下列何者?
(A)
6
2
(B)
6
4
(C) 12 (D) 24
4. 已知實數 ,
a b 滿足條件
2
2
63
a b
ab
a
b
與
6
ab
，則
2
2
b
a
的值為何？
(A) 13 (B) 55 (C) 69 (D) 81
5. 如圖， AKL
為正三角形， HIJKL 為正五邊形，以及 BCDEFGHL為正八邊形，且 L 為此三圖形之公共頂點，
試問 ALB
的度數為多少度?
(A) 43
(B) 57
(C) 60
(D) 75
6. 已知
2020
2019
a
，
2021
2020
b
，
2
2021
2019
c
；則
c
b
a ,
,
三數的大小關係為何？
(A)
c
b
a
(B)
b
c
a
(C)
b
a
c
(D)
a
c
b
7. 已知 a 是 2019 的正平方根，
2019
b
，則
b
a, 兩數的關係式為何？
(A)
b
a
(B)
2
b
a
(C)
b
a
2
(D)
b
a
4
8. 設 n 為正整數，令
*
n
表示等差數列 n 、
3
n
、
6
n
、
9
n
、
的和(其中每一項均為正整數)， 例如：
15
2
5
8
8
*
，
30
3
6
9
12
12
*
；請問
*
91
的值為何？
(A) 1080 (B) 1426 (C) 1472 (D) 4186
9. 已知 p 為質數，如果
10
p
、
14
p
、
100
p
都是質數，則
1
2
p
的值為何？
(A) 5 (B) 10 (C) 26 (D) 50
10.化簡
8
9
1
7
9
1
6
9
1
5
9
1
4
9
1
3
9
1
2
9
1
6
7
1
5
7
1
4
7
1
3
7
1
2
7
1
的值為下列何者？
(A)
3
4
(B)
4
3
(C)
3
4
(D)
4
3
〈背後尚有試題〉
2
A
B
C
第二大題：
11.有一本書不知有多少頁，今將其頁數分別標上1, 2,3, , n
。如果把這些頁數編號相加起來，但其中有一頁數編號
不小心加了 2 次，得到總和為 2019 ，試問這多加一次的頁數編號為何？
（A） 3 (B） 6 （C） 13 （D） 16
12.自
9
,
,
3
,
2
,
1
這 9 個數中選出 7 個不同的數相加，其和是 3 的倍數，試問共有多少種不同的選法滿足上述條件？
(註:
2
1
和
1
2
視為相同結果)
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
13.設
)
(n
f
表示正整數 n 之最大奇因數，例如
3
)
3
(
f
，
5
)
10
(
f
，則
)
50
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
f
f
f
f
的值為何？
(A) 842 (B) 843 (C) 844 (D) 845
14.如圖所示，直角 ABC
中，
o
ACB
90
，
5
AB
，兩股 AC 、 BC 的長是 x 的一元二次方程式
0
6
)
5
(
2
m
x
m
x
的兩個實數根，且
BC
AC
。則下列何者正確？
(A)
1
m
；
3
AC
；
4
BC
(B)
2
m
；
3
AC
；
4
BC
(C)
1
m
；
2
AC
；
4
BC
(D)
2
m
；
2
AC
；
4
BC
15.有一塔形幾何體由若干個正方體構成，例圖即為三個正立方體的構成方式，上層正方體下底面的四個頂點為下層
正方體上底面各邊的中點。已知最底層正方體的邊長為 2 ，該塔形幾何體的表面積(含最底層正方體的下底底面
積)超過 39 ，該塔形幾何體中正方體個數最少是幾個？
(A) 4 個 (B) 5 個 (C) 6 個 (D) 7 個
16. 如右圖， ABCD 為正方形，點 P 是 AB 邊上的一點（但不是正方形的頂點）。連接 PD 並將線段 PD 繞點 P 順時針
方向旋轉
o
90
得到線段 PE ，且 PE 交 BC 於點 F ，連接 BE 跟 DF 。則 CBE
的度數為何？
(A)
o
30 (B)
o
45 (C)
o
60 (D)
o
75
17. 如圖，有一座四層樓房，每個窗戶的 4 塊玻璃分別塗上黑色和白色，每個窗戶代表一個數字，每層樓有三個窗戶，
由左而右表示一個三位數，四個樓層有四個三位數： 275 、362 、 612 、 791 ，請問第四層樓表示哪個三位數？ˉ
(A) 275 (B) 362 (C) 612 (D) 791
A
B
C
D
P
E
F
3
18. 在正方體的所有展開圖中，每一個展開圖都是由 6 個正方形所組成；例圖即為正方體的一種展開圖。若每一個正
方形對角線的交點稱為該正方形的中心點（例如下圖中的 A、 B 兩點）
。試求，在邊長為1的正方體所有不同的展
開圖中，任兩個相異中心點在展開圖所在平面上的最遠距離是多少？
(A) 11 (B) 13 (C) 17 (D) 20
19. 自
100
,
,
3
,
2
,
1
從這100 個數中選取相異兩個數相加，並使他們的和大於100 ，請問共有多少種不同的選法？
(A) 1275 (B) 2500 (C) 2550 (D) 2601
20. 有一個等差數列的項數為奇數，其中奇數項的總和為 221 ，偶數項的總和為 204 ；則這個等差數列的項數為何？
(A) 23 (B) 25 (C) 27 (D) 29
21. 化簡
5
2
2
2
2
11
5
2
4
11
11
14
14
17
11
14
2
17
的值為下列何者？
(A)
3
5
17
(B)
3
5
17
(C)
3
2
2
14
(D)
3
2
2
14
22.
7
5
在數線上表示 7 和 5 之間的距離，請問在下列四個選項中，哪一個選項的 x 值在數線上找不到？
(A)
5
3
x
(B)
3
2
3
x
x
(C)
7
2
3
x
x
(D)
2
3
x
x