2016 臺南市立國民中學暨完全中學數學競賽第一階段試題
1. 一等差數列共有 6 項，若首項和末項的和為 20，則這 6 項的和是多少﹖
(A) 30 (B) 40 (C) 50 (D) 60
2. 如右圖(一)，直線
𝐿
1
、
𝐿
2
被直線 M 所截，產生八個截角。請問下列哪一個條件
可以推斷
𝐿
1
與
𝐿
2
平行？
(A) ∠5＝∠7 (B) ∠2＝∠5 (C) ∠1＝∠7 (D) ∠1＝∠8
3. 若一多項式除以
2
2
3
1
x
x
，得到得商式為 3
5
x
，餘式為 6，則此多項式為下列何者?
(A)
2
(2
3
1) (3
5) 6
x
x
x
(B)
2
(2
3
1) (3
5) 6
x
x
x
(C)
2
[(2
3
1) 6] (3
5)
x
x
x
(D)
2
[(2
3
1) 6] (3
5)
x
x
x
4. 設酒精 x 立方公分的重量是
y
公克，則 x 與
y
的關係如右圖(二)，請問 10 公克
的酒精，體積為多少立方公分？
(A) 6.4 (B) 8 (C) 12.5 (D) 80。
5. 二元一次聯立方程式
2018
2017
2016
2016
2015
2014
x
y
x
y
，則
1
x
y
=？
(A)
1
(B) 0 (C) 1 (D) 2
6. 如右圖(三)，有一個邊長為 3 單位的正方形，其中每一個小方格都是邊長為 1 單位
的正方形，則
4
3
2
1
＝？
(A) 135
(B) 150
(C) 165
(D) 180
7. 計算
2
2
1
3
|1 ( 5) | [
(
) ]
3
3
5
？
(A)
26
5
(B)
56
5
(C)
24
5
(D)
104
5
8. 甲、乙、丙三人，已知甲的體重 72 公斤，乙的體重 60 公斤，若甲、丙二人體重和的 2 倍比乙體重的 4 倍還輕，
設丙的體重 x 公斤，則丙體重的範圍為何？
(A) x＜48 (B) x＜96 (C) 0＜x＜48 (D) 0＜x＜96
9. 已知
2
12
0
x
kx
的解為整數，若 1
10
k
，則 k 的值為何﹖
(A) 0 或 6 (B) 1 或 4 (C) 2 或 8 (D) 1 或 7
10.下列關於正反比的敘述，何者正確？
(A) 若 y 和 x 成反比，則當 x 值越大時，y 值就越小。
(B) 曉晴從家裡走路上學的速率和時間會成正比。
(C) 琪琪讀一本小說，讀過的頁數和剩下的頁數會成反比。
(D) 蘋果一斤 25 元，媽媽購買的蘋果重量和總價會成正比。
11.若
2
2
2
4
a
a
b
c
，則 a、b、c 三數之間的關係何者正確？
(A)
1
a
b
(B)
2
b
a
(C)
2
c
b
(D)
2
c
a
12.已知一線型函數
)
(x
f
y
的圖形通過（0，1）、（2，－5）兩點，則下列敘述何者正確？
(A)
0
)
0
(
f
(B)
)
101
(
)
99
(
f
f
(C)
)
2
(
)
0
(
f
f
(D)
)
101
(
)
99
(
f
f
13.已知一個四邊形 ABCD，若滿足下列哪兩個條件，即可確定此四邊形為正方形？
甲：四個角都相等 乙：一組對邊平行且相等
丙：對角線
𝐴𝐶
̅̅̅̅平分∠𝐴 丁：兩組對邊分別互相平行
(A) 甲和乙 (B) 甲和丙 (C) 甲和丁 (D) 乙和丙
作答說明：
1.本試卷題目共兩頁總計 25 題，每題皆為單選題，每題 4 分，總分 100 分。
2.本試卷圖形非實際比例繪製。
3.請將答案填寫在答案卷(卡)中。
< 背面尚有試題 >
圖(一)
圖(二)
圖(三)
14.小和上數學課時，利用尺規設計了一個圖案如下圖(四)，五個小圓皆不重疊且緊靠在一起，
若 5 個小圓半徑皆為 2，則灰色部分面積是多少？
(A) 10π (B) 12π (C) 14π (D) 16π
15.如下圖(五)，A
、
B
、
C
、
D 在同一平面上，已知 AB
AC
AD
且∠BAC＜∠CAD，則下列哪個關係式不成立？
(A) BC
CD
(B) ∠ABC＞∠ADC (C)
1
2
AC
BD
(D) ∠DBC＜∠BDC
16.如上圖(六)， ABC
DEF
，且 A
、
B
、
C 的對應點依序為 D
、
E
、
F，若
82
A
，則∠1＋∠2＝？
(A) 262
(B) 264
(C) 266
(D) 268
17.如上圖(七)，在長方形 ABCD 中，分別以
AD
CD
AC
、
、
為直徑各做一半圓，其中對角線
8
AC
cm，
則灰色部分面積為多少平方公分?
(A) 16
(B) 32
(C) 64
(D) 128
18.如上圖(八)，
cm
AB
11
、
cm
CD
12
，且
AOD
面積=
BOC
面積，則下列敘述何者必正確？
(A)
OCB
OAD
(B)
ODC
OBA
(C)
OC
OA
(D)
OB
OA
19.已知 4，13，31，46，67 並不是等差數列。請問在這些數之間至少再插入幾個數，就可以成為等差數列？
(A) 5 (B) 10 (C) 17 (D) 21
20.星八客咖啡店最暢銷的咖啡是”拿鐵”和”卡布奇諾”，拿鐵是以「義式濃縮咖啡：鮮奶：奶泡＝2：2：1」沖調而成，
卡布奇諾則是以「義式濃縮咖啡：鮮奶：奶泡＝1：1：1」沖調而成，若要沖調出相同容量的拿鐵和卡布奇諾各一杯，
拿鐵和卡布奇諾所使用之義式濃縮咖啡的比例為何？
(A) 1：1 (B) 2：1 (C) 5：3 (D) 6：5
21.在神秘的魅思魅提克斯星上發現一圖形訊息，觀察發現它是按照右圖(九)所示的方式由 9 個
大小都不相同的正方形所組成的矩形。已知所有正方形的邊長均為整數。若最小正方形的邊
長為 2 公分，則整個矩形的面積為多少平方公分?
(A) 1296 (B) 3599 (C) 4209 (D)5460
22.哥哥和弟弟兩人猜拳分糖果，
「贏的」可得三顆糖、
「平手」各得兩顆糖、「輸的」僅得一顆
糖，今兩人共猜拳 20 次，結算後哥哥共得 43 顆糖，則哥哥比弟弟多贏了幾次？
(A)
1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
23.如右圖(十)， AC 平分
BAD
，且 BC CD
，若
45
ADC
，
6
CD
， ABC
的面積為 30，
則 ACD
的面積為何？
(A) 46 (B) 48 (C) 50 (D) 52
【題組 24~25】
如右圖(十一)，正方形 ABCD 中，E 為內部一點，已知
1
EB
、
5
EC
、
7
ED
，則：
24. EA 之長為多少？
(A)
2
2
(B) 3 (C)
3
2
(D) 5
25.正方形 ABCD 之面積為多少平方單位？
(A) 32 (B)
3
20
(C) 30 4 2
(D) 40
< 試題結束 >
圖(四)
圖(五)
圖(六)
圖(七)
圖(八)
圖(九)
圖(十)
圖(十一)
臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽複賽試題
試題說明：
本試題共 22 題，分為兩部分。第一部分：第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分；
第二部分：第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分；總分 100 分。
請從每題的四個選項中選出最合乎題意的答案。
第一部分（第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分）
1.已知
, ,
x y z
均為實數，
:
3 : 2
y
z
x
y
=
且
:
9 : 4
y z
z x
=
. 求
z
y
的值。
(A)
27
8
(B)
2
3
(C)
4
9
(D)
4
19
2.已知 ( )
28
2016
28
2016
f x
x
x
=
−
+
−
. 求 (1)
(2)
(3)
(100)
f
f
f
f
+
+
+
+
"
的值。
(A)
22728
(B)
22736
(C)
22744
(D)
22752
3.下列何者為方程式
4
2
10
1
0
x
x
−
+ = 的最大解？
(A) 3
2
+
(B)
3
2
+
(C) 2
3
+
(D)
1
2
+
4.在滿足「125 整除
2
90
n
n
+ −
」的所有正整數 n 中，令最小的兩個分別為 a 和
b
，則
a
b
+
的值為何？
(A)
118
(B)
120
(C)
122
(D)
124
5.已知 , ,
u v w 三數滿足
17
u
v
w
+ + =
及
1
1
1
29
u
v
w
+ + =
. 求
u
v
w
u
w
v
v
w
u
w
v
u
+ + + + +
的值。
(A)
288
(B)
320
(C)
490
(D)
493
6.下列何者可以寫成 100 個連續整數的總和？
(A)
8825
(B)
8800
(C)
8775
(D)
8750
7.正整數
100
99
98
97
96
95
3
3
3
3
3
3
−
+
−
+
−
含有幾個相異質因數?
(A)4 個 (B)5 個 (C)6 個 (D)7 個
8.已知 ( )
9
f x
ax
=
+ , ( )
1
g x
x
= + 為兩線型函數，其中 a 為一給定的數，且 (4)
(4)
f
g
<
、 (3)
(3)
f
g
>
.若
b
滿
足 3 ( )
( )
f b
g b
=
,則
b
的範圍為何?
(A)
13
13
2
3
b
−
< < −
(B)
5
1
3
b
− < < − (C)
5
1
3
b
< < (D)
13
13
3
2
b
< <
9.數列 2, 1, 3, 4, 7, 11, " 的首二項分別為 2, 1,其後每一項是前面兩項的和。那麼第1 項至第
2016
項中共有
多少項除以
3
的餘數是
2
？
(A)
576
(B)
672
(C)
756
(D)
896
10.如右
摺，
求四
(A)1
第二部
11.已知
(A)
3
12.求
9(
(A)
−
13.已知
(A)
−
14.考慮
有多
(A)
1
15.某項
分數
的規
已知
參加
和是
(A)
2
16.設三
(A)
8
17.如圖
長方
(A)
2
右圖，將等
使得 AB
四邊形
AEA
3
2
−
(B
部分（第
知
12
7
1
− 恰
31
(B)
2
201
3
−
1
3
−
(B)
知 ,
a b 兩數
1
− (B) −
慮「11 個連
多少個？
6
(B)
1
項競賽中，
數是 1 分；
規則如下表
知該競賽閱
加者這題分
是多少？
264
(B)
三位數
abc
81
(B)
7
圖，在長 8
方形土地的
209
(B)
等腰直角三
及
AC
重
'
A F
的面
B)
2 1
−
11 到第
恰有一個質
)
37
(C
3
6
)
202
−
1
3
(C)
−
數滿足
ab
2
− (C) −
連續 3 的倍
17
(C)
1
每一題的
答對人數
表：
閱卷結束後
分數的總和
)
265
(C
c
為 9 的倍
72
(C)
6
840 公尺
的(其中一
)
210
(C
三角形
AB
重合，且 B
面積。
(C)
1
4
(
第 22 題
質因數介於
C) 41 (
2
2
28(
3
−
1
9
−
(D)
2
1, 17a
≠
5
− (D)
倍數且每
18
(D) 2
的分數會
數每少 1
後，發現
和增加 26
C)
266
倍數，且
64
(D)
，寛 630
一條)對角
C) 211
BC
的兩腰
,
B C 兩點摺
D)
2
1
2
−
，每題 5
於
30
與
50
(D)
43
2016
) 26
−
)
1
9
2
29
1
a
+
+
2
− 或
5
−
每項均為二
21
會隨著該題
人，則此
答
現其中一題
6 分，且這
(D)
267
, ,
a b c 均不
56
公尺的長
角線上有多
(D) 212
腰 AB 與
A
摺至平面
5 分，共
0
之間。求
683
的值
2
1
0, b
=
+
二位數」
題的答對人
此題的分數
答對人數
分數
題，有某一
這一題答
不為 3,則
長方形土地
多少棵樹
AC
分別沿
面上同一點
共 60 分）
求出此質
。
29
17
b
+
+
的數列，
人數而變
數就多加
5 4 3
1 2 3
一人「答
答對的人數
則滿足以上
地上，橫
？
沿著 AF 及
點
'
A
. 已
）
質因數。
7
0
=
. 求
其中「剛
變動，規則
加 1 分。例
3 2 1
3 4 5
答對」
，但卻
數是參加人
上條件的
橫直每隔 1
及 AE 往內
已知 AB
=
求
5
ab
a
b
−
+
剛好有兩
則如下：若
例如：若全
卻被登錄
人數的
1
5
的三位數
a
1 公尺種上
內
1.
1
+
的值。
兩項為 5 的
若所有參
全體參加
錄為「答錯
，請問這
abc
共有幾
上樹木(圖
。
的倍數」的
參加者都答
加人數為 5
錯」
，經修
這題所有參
幾個？
圖中黑點
的這種數
答對，則這
5 人，則給
修正後，所
參加者分
點)。試問
數列共
這題
給分
所有
分數總
：此
18.下圖
梯形
那麼
(A)1
19.已知
且直
(A)
1
20.如圖
的周
(A)
a
21.如右
BD
=
(A)
2
22.如右
蟻分
圓前
知 AB
可抵
(A)比
(C)比
圖(左)為一
形依下圖(中
麼共需要多
08 (B
知
ABCD
為
直線 BF
HJJG
交
: 4
(B)
，
ABC
Δ
中
周長，即
A
2
2
a
b
c
+
=
右圖，
AB
Δ
1
x
x
=
+
.
20
°
(B)
右圖一圓柱
分別從 ,
A B
前進；而乙
B 上有一
抵達
C
點。
比 5 圈多
比 7 圈多
一等腰梯形
中)的方式
多少個這種
B) 54 (
為正方形
交
AD
於
N
4 :17
(
中，三邊長
AB
BD
+
=
c
(B)
∠
BC
中 B
∠
求
C
∠
.
30
°
(C
柱， ,
A B 分
B 兩點出發
乙則以保持
一點
C
，且
求乙到達
多，比 6 圈
多，比 8 圈
形，其兩
式依序拼
種梯形？
(C) 48
，
M
為
C
N
. 求
AN
(C)
2 : 9
長分別記
AC CD
=
+
60
C
∠ > °
70 ,
B
A
=
°
.
C)
40
°
(
分別為上
發，甲以
持與水平
且甲恰繞圓
達上底圓
圈少
圈少
兩底角的大
拼貼，使其
(D) 27
CD
的中點
:
N ND
.
(D)
4 :19
記為 , ,
a b c
D
. 下面
(C)
C
∠
1
AB
= , ∠
(D)
50
°
上下兩底圓
以保持與水
平面夾 30
D
的
圓柱兩圈
圓時，共繞
(B)比
(D)比
大小為
α
=
其外圍(圖
點，
AM
與
9
,
60
A
∠ =
面那一個選
6
C
B
− ∠ <
A
∠ 的分角
圓上的點
水平面夾 4
的方向，
圈後可抵達
繞了圓柱約
比 6 圈多
比 8 圈多
1
83
3
=
度,
圖(中)的粗
與
BD
交於
0
°
；D 為
選項是錯誤
60
°
(D)
角線交線
， AB 垂直
45
D
的方向
繞著圓柱
達
C
點，而
約幾圈?
多，比 7 圈
多，比 9 圈
下底及腰
粗線)圍成
於點
E
,
BC
上一點
誤的？
)
30
B
∠ <
線段
BC
於
直底面。
向，繞著
柱表面往上
而乙須恰
圈少
圈少
腰的長度分
成一正星形
F
為線段
點使得
BD
0
°
於 D. 若令
有甲乙兩
圓柱表面
上底圓前
恰繞圓柱三
分別為 2
形多邊形
段
AE
上一
:
BD DC
=
令
x
AC
=
兩隻螞
面往下底
前進。已
三圈後才
與1 .今想
形(如圖(右
一點使得
1: 3
且 AD
0
C
AB
−
>
想以這種
右)這類圖
得
1
2
EF
A
=
D 平分
A
Δ
0
,則
等腰
圖形)。
AM ,
ABC
C
F
A
B
E
D
臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽決賽試題
應答注意事項：
一、 本試題共兩頁分兩大題，第一大題為 10 題填充題，每題 6 分；第二大題為計算及證明題，共 4 題，
每題 10 分。
二、 填充題答案請書寫於答案本中所標示的位置，計算及證明題請依題號順序詳列算式或證明過程。
三、本試題所提供之圖形僅供示意參考。
第一大題：填充題
1.
若
2016
5123
x
，試求
4
3
3
4
2
5
1
2
x
x
x
x
的值為____________。
2. 有
b
a, 兩數，且兩個一元二次方程式
0
16
2
a
x
x
與
0
20
2
b
x
x
，有一個共同的解。若上述兩個
一元二次方程式的三個相異解，恰形成一個公差為 2 的等差數列，則
b
a
的值為 。
3. 已知在一圓周上自某一點開始，依順時針方向分別依序填入 268 個整數，使得依順時針方向數起，每
20 個連續的數之和都是 75。如果在第 17 個位置上填入整數 3，在第 83 個位置上填入整數 4，且在第
144 個位置上填入整數 9，那麼第 210 個位置上的整數是____________。
4. 有 5 個數
e
d
c
b
a
,
,
,
,
，其數值分別為-1, 0, 1 中的任一個，則
e
d
c
b
a
4
3
2
3
3
3
3
的值是正整數共
有_________個。
5. 已知 ,
a b 為二數，且滿足 |
|
10
a
a
b
及
| |
12
a
b
b
，則 a b
之值為____________。
6. 小華將一個大長方形切割成 6 塊小長方形 A、B、C、D、E、F (如下圖)，若長方形 A 面積為
a
，長方形
B 面積為
b
，長方形 C 面積為
c
，長方形 D 面積為
d
，則長方形 E 與長方形 F 之面積和為__________。
（請以
d
c
b
a
,
,
,
表示）
7. 已知六邊形 ABCDEF 之各內角度數相等，且
11
BC
AB
，
3
CD
FA
，則
DE
BC
的值為 。
8. 假設
t
s
r ,
,
是三個相異的正整數，而且可以使得
rst
tr
st
rs
1
也是正整數，則
t
s
r
r
t
t
s
s
r
2
2
2
2
2
2
所有可
能的值為 。
第 1 頁
P
B
C
A
Q
9. 已知
n
為一個五位數，將
n
除以 100，其商為 q ，及餘數為 r ，如果 q r
為 11 的倍數，則滿足這樣條
件的所有
n
值共有_____________個。
10. 我們規定：當一個多邊形的所有對角線都在該多邊形的內部時，我們將此多邊形稱為凸多邊形。已知
有一個凸四邊形 ABCD ，其中
6
AB
，
8
BC
，
6
CD
，其中一條對角線
8
AC
，則滿足上述條件
的四邊形中，
長的值為整數的所有可能值共有 個。
第二大題：計算題
1. 試求滿足方程式
3
3
2
y
x
y
x
的所有可能
y
x,
的解。(請詳述理由)
2. 設
n
為正整數且
4
7
2
2
2
n
為完全平方數，試求滿足上述條件的所有可能的
n
值為何？(請詳述理由)
3. 如下圖，在 ABC
中
AC
AB
，今在 ABC
內部取一點 D 使得
AC
BD
AB
且
o
DCB
30
，若
2
CD
且
37
2
AC
，試求 ABC
面積。(請詳述理由)
4. 如下圖在 ABC
中， P 和 Q 是 BC 上兩點，使得 AQ 是 BAC
的角平分線且
QC
BP
，
AQ
AP
。試證
明：
2
2
2
AQ
AC
AB
AP
。
本試題到此全部結束
第 2 頁
AD