臺南市 106 年公私立國民中學數學競賽第一階段試題
( )1. 過（－2 , 6）且平行 x 軸的直線，必通過下列哪一點？
(A)（－2 , 0） (B)（－3 , 6） (C)（6 , 0） (D)（1 , －2）
( )2. 化簡 ( 12
10
15)
3
？
(A) 6 5 6
(B) 2 3 15 2
(C)
18 2 (D) 6 15 2
( )3. 利用配方法可以將多項式
2
2
5
x
x
化成
2
(
)
x a
b
的形式，則數對（a , b）為何﹖
(A)（1 , 4） (B)（2 , 5） (C)（1 , 5） (D)（2 , 4）
( )4. 小志辦理慶生會，準備 184 顆糖果，136 個巧克力平均分給來參加的朋友（包括小志）
，結果糖果多了 4 顆，巧
克力少了 4 顆，則參加小志慶生會的朋友（包括小志）不可能是多少人?
(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 20
( )5. 南市國中想購買”金庸全集”，書商的價錢依此計價：
「基本上買 30 本要 7000 元，超過 30 本的部分，每本要 190
元。」若用 29900 元購買，則至多可買多少冊？
(A) 120 (B) 150 (C) 155 (D) 157
( )6. 若正 n 邊形之一內角為
，則 n 之值為多少？
(A) 14 (B) 15 (C) 28 (D) 30
( )7. 如圖（一）
， ABC
中， AD 平分 BAC
，且 DE
AB
、 DF
AC
，
已知 ABC
面積為 49，
6
8
AB
AC
、
，則 DE
？
(A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5
( )8. 平行四邊形 ABCD 的三個頂點分別為: A ( 1 , 2 3 )、B ( –1 , 0 )、C ( 2 ,
3 )，則 D 點的坐標為何？
(A)（0 , 2 3 ） (B)（3 , 3 3 ） (C) （1 ,
3 ） (D)（4 , 3 3 ）
( )9.
ABC
中，若 2∠A：3∠B＝8：9、2∠B：∠C＝6：5，則
ABC
三邊之大小關係為何？
(A) AB ＞ AC ＞ BC (B) AB ＞ BC ＞ AC (C) AC ＞ BC ＞ AB (D) AC ＞ AB ＞ BC
( )10. 設 x、y 皆為整數，已知
4
32 2
x
y
，
3
9
1
x
y
，則
x
y
的值為何？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 無解
( )11. 下列哪個一元二次方程式的兩根，在數線上與原點的距離不相等？
(A)
2
1
x
x
x
(B)
2
2
12
18
0
x
x
(C)
2
4
4
0
x
x
(D)
2
2
(
2)
2(
1)
x
x
( )12. 已知等差數列甲為
1
2
3
1,
3,
5
a
a
a
,…，等差數列乙為
1
2
3
1,
5,
9
b
b
b
,…。
若數列丙為
1
1
1
2
2
2
3
3
3
b ,
b ,
b ,......,
n
n
n
c
a
c
a
c
a
c
a
b
。則
30
c
？
(A) 176 (B) 182 (C) 206 (D) 240
( )13. 四邊形 ABCD 之兩條對角線相交於 O 點，已知
OAB
、
OBC
、
OCD
之面積分別為 1、2、3 平方單位，則
OAD
之面積為多少平方單位？
(A)
2
3
(B) 2 (C)
2
7
(D) 4
( )14. 若 x 的方程式
4
2
3
1
x
m
x
和
3
2
6
1
x
m
x
有相同的解，則
2017
2016
7
(
2)
(2
)
5
m
m
之值為何?
(A)
5
2
(B)
2
5
(C)
2
5
(D)
5
2
( )15. 化簡
？
(A)
(B)
(C)
(D)
( )16. 有一等差級數
43 37 31 25 ...
n
S
，當 n 是多少時，
n
S
開始為負的﹖
(A) 18 (B) 17 (C) 16 (D) 15
14
180
13
2
10
2 15
6
8
2
2
3
3
2 2
2 2 4 3
2 2
4 3
2 2
2 10
2 5
作答說明：
1.本試卷題目共兩頁總計 25 題，每題皆為單選題，每題 4 分，總分 100 分。
2.本試卷圖形非實際比例繪製。
3.請將答案填寫在答案卷(卡)中。
< 背面尚有試題 >
圖（一）
y
x
Q
P
( )17. 有甲、乙兩種食鹽水，含食鹽的重量比為甲：乙＝2：3，含水的重量比為甲：乙＝3：2，總重量比為甲：乙
＝3：4，則甲食鹽水的濃度是多少?
(A) 2.9% (B) 40% (C) 66.7% (D) 80%
( )18. 小弘到花店買花，已知小弘選了 14 元和 15 元兩種價格的花去搭配了兩組花束，且兩組花束(花組合方式可不
同)所用的花朵數量皆相同，最後小弘付了 400 元，請問小弘總共買了幾朵 14 元的花？
(A) 20 朵 (B) 16 朵 (C) 10 朵 (D) 8 朵
( )19. 坐標平面上，與 P ( 1 , 3 )、Q( 1 , 4 ) 兩點可連成等腰直角三角形的 R 點共有幾個？
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 無限多個
( )20. 如圖（二）
，旗杆
AB
與地面 BC 垂直，旗杆頂端有兩條繩子往下垂，小明和大華分別拉住其中一條繩子反方向
行走，當小明走到 C 點，大華走到 D 點時，恰巧將兩條繩子拉直，此時 AC = 13 公尺，
AD
=20 公尺，兩人
相距 21 公尺，則旗桿高度
AB
為多少公尺? (A) 5 (B) 12 (C)
260
21
(D) 16
( )21. 如圖（三）
，坐標平面上，直線
1
L ：
2
y
x a
與
2
L ：
y
x b
相交於 y 軸上的 P 點，直線
3
L ：
2
y
x c
與
4
L ：
y
x d
相交於 x 軸上的 Q 點。請問下列敘述何者正確？
(A)
a
b
c
d
，
(B)
a
b
c
d
，
(C)
a
b
c
d
，
(D)
a
b
c
d
，
( )22. 如圖（四）
， AB 與直線 L 交於 B 點，O 點為 AB 的中點，小花以此基底設計出的徽章如圖（五），畫圖步驟如
下：
步驟一：以 O 點為圓心， OA 為半徑畫一圓。
步驟二：以 O 點為圓心，大於 OA 為半徑再畫一大圓，與直線 L 交於 D 點。
步驟三：連接 DO 並延長之，使其與大圓另一側交於 C 點。
步驟四：連接
AC
AD
BC
BD
、
、
、
即完成。
試問，下列敘述何者不一定正確?
(A)
/ /
AC
BD (B) AC
AD
(C)
∠DAC=∠DBC (D)∠ADC=∠BCD
( )23. 有一張長邊為短邊 4 倍的長方形紙張，先將 AD 摺向 PQ，使得 A、P 重疊，D、Q 重疊，展開後出現如圖（六）
的摺線 EF ，接著將左下角向摺線
EF
摺過去，使得 P 點落在摺線
EF
上如圖（七）
，再將
AB
向
BQ
方向摺過
去，使得 A 點落在
BQ
上，摺出第一個正三角形 ABC 如圖（八），再沿著摺 AC 摺出第二個正三角形……，
最後會摺成如圖（九）的結果。試問可摺出多少個正三角形？
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6
( )24. 公路上有 A、B 兩地，大台南公車每隔相同時間以每小時 40 公里的速率由 A 地開至 B 地，小華沿此公路以每
小時 8 公里的速率由 B 地步行至 A 地。小華發現每隔 4 分鐘就有一輛大台南公車與他迎面相遇，請問大台南
公車每隔幾分鐘發一次車？
(A)
1
4
3
(B)
3
4
4
(C)
2
4
5
(D)
4
4
5
( )25. 教室的玻璃被打破了，在場目睹過程的人有甲、乙、丙三人，且這件事一定是甲、乙、丙三人其中一人所為。
當翰子老師分別詢問三人時，甲說：『是乙做的』，乙說：『不是我做的』，丙說：『也不是我做的』。已知三人
中只有一人說了實話，請問玻璃是誰打破的？
(A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)條件不足，無法有效判斷
圖（四）
圖（五）
圖（二）
圖（三）
圖（六）
圖（七）
圖（八）
圖（九）
< 試題結束 >
臺南市 106 年公私立國民中學數學競賽複賽試題
試題說明：
本試題共 22 題，分為兩部分。第一部分：第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分；
第二部分：第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分；總分 100 分。
請從每題的四個選項中選出最合乎題意的答案。
第一部分（第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分）
1.卡卡看一本書，第一天看全書的
1
3
又 5 頁，第二天看了第一天看的頁數的
1
5
又 6 頁，第三天看了第二天
看的頁數的
1
7
。第三天結束後，發現這三天剛好看完 142 頁，則此本書的總頁數為多少?
(A) 210 (B) 315 (C) 420 (D) 525
2.右方的圖形由兩個邊長相同的正方形 S 疊合，重疊的部分（劃有格線部分）是正
方形T 。已知T 的面積是整個圖形的面積的
2
7
，則正方形T 與正方形 S 的邊長比
為何？
(A)2：3 (B)1：2 (C)3：4 (D)3：5
3.右圖中，大的長方形沿較長的一邊做垂直切割後得到兩個較小的長方形，且切割之
後的兩個小長方形長寬比相同。已知切割後的兩個長方形面積比為 4：1，則原長
方形的長寬比為何?
(A)2：1 (B)3：2 (C)
5：2 (D)4：3
4.一個部落每年以固定的方式遷徙，遷徙的方向是依照正東、正北、正西、正南的順序輪替，移動的距離
分別是 1、2、3、
逐年增加 1 公里。那麼遷徙 105 次後的位置與初始位置的距離為多少公里? (答
案取最接近整數)
(A)74 (B)75 (C)76 (D)77
5.已知
50
2
除以101所得的餘數為 100,求
101
2
除以101所得的餘數為何？
(A)1 (B) 2 (C) 36 (D) 44
6.設
( 2,1)
A
,
( 2, 4)
B
,且點 ,
C D 在直線
6
y
x
上，已知線段 AC 與線段 BD 交於原點，則線段 CD 的長
度為何？
(A)2 (B) 2 2 (C)3 (D) 2
2
7.若
n
為小於 50 的正整數，且
2
2
2
(
1)
0
x
nx
n
的兩根為整數，則所有
n
可能值的總和為何?
(A) 43 (B)
44
(C) 67 (D) 85
8.已知一個直角三角形的面積為 7 ,周長為14 ,則此三角形三邊長的乘積為何?
(A) 48 (B) 60 (C) 72 (D) 84
9.已知 2017
2017
x
y
與 x y k
為直角坐標平面上的兩直線，且交點在第一象限，則滿足上述條件的
整數
k
共有幾個?
(A)2015 (B)2016 (C)2017 (D)2018
10.已知一個三角形的內角分別為 , ,
x
y
z
，
且
,
4
x
y
z z
x
，則 y 的範圍為何?
(A)
0
80
y
(B)
30
90
y
(C)
0
90
y
(D)
30
80
y
第二部分（第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分）
11.假設兩正整數
a
、 b 的最小公倍數為 450；則 a b
最小值為何?
(A) 21 (B) 43 (C) 45 (D) 59
12.如右圖， ABC
為等腰三角形，底邊為 BC ，底角為 75
，點 B 至 AC 所做的垂直
線與 AC 的交點為 D 。已知
1
CD
,則 ABC
為的面積為何?
(A) 4 2 3
(B) 7 4 3
(C) 8 4 3
(D)14 4 3
13.已知 500 可以寫成 n 個連續正整數的和，則
n
的最大值為多少?
(A)
24
(B) 25 (C) 26 (D) 27
14.已知 ,
x y 均為正數，且
2
2
6
15
0
x
xy
y
，則
2
2
2
2
30
5
72
40
7
105
x
xy
y
x
xy
y
的值為何?
(A)
3
2
(B)
3
2
(C)
2
3
(D)
2
3
15.已知 ,
a b 為實數，線型函數 ( )
f x
ax b
滿足 (1)
(2)
(63)
2016
f
f
f
，則 (32)
f
的值為何?
(A) 32 (B) 64 (C)16 (D) 63
16.某本書的內文頁碼以 1, 2, 3, … 編碼。打印整本書的內文頁碼共用了 852 個數字（例如三位數 223 要
用 3 個數字），則這本書內文共有多少頁？
(A)215 (B)314 (C)320 (D)329
17.右圖為三個二位數直式加法的算式，已知
, ,
M N L
為
1, 2,
, 9
之中的三個相異
整數，則 M
N
L
的值為多少？
(A)19 (B)18 (C)17 (D)16
18.如右圖， ABC
中
110
A
，且
,
BCD
ACE
均為正三角形，則
AED
的度數
為多少?
(A) 55
(B) 50
(C) 40
(D) 35
M M
N N
+) L L
M N L
19.將
3
5
2
、
5
2
3
、
7
7
7
、
7
7
7
四個數，由大至小排列，則哪一個數排在第三位？
(A)
3
5
2
(B)
5
2
3
(C)
7
7
7
(D)
7
7
7
20.設
a
是方程式
2
2017
1 0
x
x
的一個根，則
2
2
2017
2016
1
a
a
a
的值為何?
(A) 2014 (B) 2015 (C) 2016 (D) 2017
21.已知 n 為整數且
2
4
32
9
n
n
是一個完全平方數，則所有這些
n
值的總和為何?
(A) 16
(B) 8
(C) 2 (D)10
22.已知
n
為正整數，且
1
2017
n
，若
n
可以寫成連續
3
個整數的和，也可寫成連續 4 個整數的和，則滿
足上述條件的
n
共有多少個?
(A)
168
(B)
336
(C)
504
(D)
672
臺南市 2017年公私立國民中學暨完全中學數學競賽決賽試題
注意事項：
1、 本試卷試題總計兩大類；第一類為填充題，共 8題，每題7分，共56分；第二類為計算及證明題，
共 4大題，共 44分。
2、 請將答案依題號填入答案卷中；填充題只須填入最終答案，計算證明題則須詳列計算或證明過程。
3、 試題所提供圖形僅供參考；如有根式請化為最簡根式，如有分數請化為最簡分數，否則不予計分。
4、 請以藍筆或黑筆作答，鉛筆作答不予計分。
5、 試題及答案卷的背面可當計算紙使用。
一、填充題
1. 已知一三角形的三邊長分別為11, 15, k ,且
k
為整數，試問：有多少個
k
使得此三角形為鈍角三角形？
2. 已知 , ,
x y z 三數滿足
1
2
1
2
3
y
z
x
,試問：當
2
2
2
x
y
z
的值達到最小時， x y z
的值為何？
3. 右圖中， , ,
D E F 分別是
ABC
的邊 BC , CA , AB 上的點，已知 DE
EF
,
且
50
ACB
,
70 ,
EDC
100
BFE
,
80
ADB
.
試問： ADF
是多少度？
4. 已知
, , ,
a b c k
四數滿足
2
2
0,
2
0
a
b k
b
c k
,
2
7
+3
0
2
c
a
,求 a b c
的值。
5. 若一個數列中每一項皆取自1, 2, 3, 4, 5, 6這六個整數，例如：2, 3, 1, 5, 則稱它為一個「骰子點數列」。
若數列的項數沒有限制且數字可被重複選取，則數列和為6的「骰子點數列」總共有多少個？ (注意：
數字的順序不同就視為不同的數列，例如：數列 2, 3 及 3, 2 須看成不同的數列)
6.
設 , ,
a b c 為正整數且滿足
11
a b c
.求 abc ab bc ca
的最大值。
7. 如右圖，
ABC
是邊長為1的正三角形，點 D 為 BC 的中點，點 E 為 BD 的
中點。沿 AE 對折後，點 ,
C D 分別移動至
,
C D
的位置上。求 BD
的長度.
8. 設正整數 , ,
p q r 為相異質數，且106
p
qr
. 求
p q r
的最大值。
二、計算證明題
1. (10分) 右圖中， , ,
D E F 分別為
ABC
邊上的點，且
1
,
3
BD
BC
1
,
3
CE
CA
1
3
AF
AB
, 而
GHK
是由
,
,
AD BE CF 所圍成,那麼 GHK
與 ABC
的面積比
值為何？
2. (10分) 證明不等式
1
1
1
1
1
2
1 1 2
1 2 3 1 2 3 4
1 2
2017
成立。
3. (12分) 試找出所有正整數 p 使得 p 是質數且 3
1
p
是完全平方數。詳細說明你的理由！
4. (12分) 已知一個等差數列的首項為12、第
m
項是2的某正整數次方，且第1項至第
m
項的總和是
7
2 .
求
m
的值。