6
2
4
5
3
1
2013 臺南市國民中學暨完全中學數學競賽第二階段試題
作答說明：1.本試卷題目共三頁總計 25 題，每題皆為單選題，每題均為 4 分，共 100 分。
2.試題所提供圖形僅供參考。
3.請將答案填寫在答案卷(卡)中。
1. 已知四個不同的數 a 、 b 、 c 、 d 分別代表 2 、 4 、 6 、 8 四個數字且都不重複出現，則 ab bc bd
ac
出現
的最大可能值是多少？
(A) 144 (B) 120 (C) 116 (D) 108
2. 已知 , ,
a b c 均為正整數（其中
3
c
）， a 除以 c 餘 1， b 除以 c 餘 2，則 a 乘以 b 之後再除以 c 的餘數是多少？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
3. 如右圖，四邊形 ABCD 與四邊形 AEFG 均為正方形，且 E 是 BC 的中點，又
4
AB
，
則圖中黑色部分（四邊形 ADHE ）面積為何？
4. 若
10
9
2.6
2.6
a
，
11
10
2.6
2.6
b
，
11
9
2.6
2.6
2
c
，則下列何者正確？
(A) b
c
a
(B) b
a
c
(C) a
b
c
(D) c
b
a
5. 已知 ,
a b 為兩個整數，如果
2
(3
2
4)
a
b
與| 2
9 |
a b
為相反數，那麼
2013
|
|
a b
的
個位數字是多少？
(A) 1 (B) 3 (C) 7 (D) 9
6. 試問 x 的一元一次方程式
99
1 2
2 3
3 4
99 100
x
x
x
x
的解是多少？
(A)
1
100
(B)
1
99
(C) 99 (D) 100
7. 將
2
16
25
3
4
5
乘開後是幾位數？
(A) 27 (B) 28 (C) 29 (D) 30
8. 有一個大掛鐘矗立在公園中，上午 9 點被校正為正確時間，但此掛鐘每走一分鐘，它會較正確時間慢10 秒鐘，若當
天下午此掛鐘的鐘面指針是兩點整，則此時正確的時間應是幾點幾分？
(A) 2 點 40 分 (B) 2 點 50 分 (C) 3 點整 (D) 3 點10 分
9. 右圖是一個正方體的展開圖，每個面分別只能填入 1、2、3、4、5、6 任一個數字且不
重複使用，如圖所示；試問相交於同一頂點的三個面上數字之和最大是多少？
(A) 11 (B) 12 (C) 14 (D) 15
10. 設 ,
m n 為互質的正整數，且
1
1
3
m
n
，如果將此分數
m
n
的分子加上一個正整數 k ，且
分母乘以 k 後所得之新的分數，其值仍等於
m
n
，那麼滿足這樣條件的分數
m
n
共有幾個？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
11. 設 n 為正整數，如果將 n 與它的所有位數的數字相加後得到和為 313，則滿足這樣條件的 n 共有多少個？
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
12. 已知 a
b
且滿足
2
2
4
1 0,
4
1 0
a
a
b
b
，則
2
1
1
1
1
a
b
=?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
13. 如圖，△AKL 為正三角形，HIJKL 為正五邊形，且 BCDEFGHL 為正八邊形，且 L
為此三圖形之公共頂點，則∠ABL 的度數為多少度？
(A) 55 (B) 57 (C) 61.5 (D) 62.5
頁 1
.
.
1
圖 (4)
圖 (3)
圖 (2)
圖 (1)
1
5
3
2
4
6
5
2
4
1
3
6
2
3
4
x
y
14. 有 10 個數
1
2
3
10
,
,
,
,
a a a
a ，其中
1
5
a
，且當
1
k
時，
1
k
k
k
a
a
，
2,3, 4,
,10
k
。
試問這 10 個數之乘積
1
2
3
10
a a a
a
為下列何者？
(A) 384 (B) 1920 (C) 3840 (D) 7680
15. 設 ,
a b 為已知二數，如果一元二次方程式
2
0
x
ax b
與
2
0
x
bx a
只能有一個公共的實數解，則
3
(
)
a b
=？
(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 8
16 已知正整數 n 滿足
200
300
5
n
，則滿足這樣條件的 n 之最大值為下列何者？
(A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11
17. 已知直角三角形 ABC 中，
5
AB
公分， BC =12 公分，且
90
ABC
。
以 A 為圓心，5 公分長為半徑作弧，交 AC 於 D 點；又以 C 為圓心，
12 公分長為半徑作弧，交 AC 於 E 點如圖所示，那麼線段 DE 的長為多少公分？
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
18. 將 1，2，3，4，5，6 分別填入正方體的每一面中（每面恰只填一個數字）
，如圖(1)所示；將這個正立方體展開，
共有 11 個不同的圖，圖(2) 及(3)是其中的兩個圖。又圖(4)是另一個展開圖，其相對應的數字如圖(4)所示；試問 x y
之值為何？
(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 11
19. 小明開車從甲地開往乙地，每小時的車速維持固定。如果他把車速每小時提高 20%，可以比原來預定到達的時間
提早 1 小時；如果他先以原來的速度行駛 120 公里後，再將車速每小時提高 25%，則可提前 40 分鐘到達，請問甲
乙兩地相距多少公里？
(A) 240 (B) 270 (C) 300 (D) 360
20. 有一個 n 位數 A，具備以下兩個性質：
(1) A 中每一位數的數字都是 1 或 2，
(2) A 中至少有相鄰的二個數字都是 1，
例如:
3
n
， A=112、211 及 111 都滿足此二性質。
又另一個 m 位數 B，具備以下兩個性質：
(3) B 中每一位數都是 0 或 1，
(4) B 中至少有相鄰的二個數字都是 0，
例如:
3
m
， B=100 滿足此二性質。
若
n
a 表示 n 位數 A 的個數，
m
b 表示 m 位數 B 的個數，則
4
4
b
a
之值為多少？
(A) 10 (B) 11 (C) 12 (D) 13
21. 設有兩相異數 a 和 b 滿足
a
a
4
5
2
和
b
b
4
5
2
，則
b
a
a
b
之值為何？
(A)
5
8
(B)
5
6
(C)
25
8
(D)
5
26
22. 設
5
b
a
，
3
ab
，
4
d
c
，
2
cd
，令
bd
ac
p
且
bc
ad
q
，若以 p
和
q 為兩根的方程式為
0
2
n
mx
x
，則
n
m
2
6
?
(A) 28 (B) 32 (C) 36 (D) 40
頁 2
B
A
D
C
23. 在四邊形 ABCD 中，
60
ABC
，
150
BAD
，且 AB BC
=4。如果
四邊形的周長為 16，則 AD =？
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
24. 已知實數 , ,
a b c 滿足
1
a
b
c
b c
c
a
a b
，則
2
2
2
a
b
c
b c
c
a
a b
之值為多少？
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
25. 某一學年度創創在學校總共考了 n 次數學測驗，已知他在該學年度最後第二次數學測驗考了 98 分，他算出到此次
測驗為止，他的數學測驗平均分數就會比前面
2
n
次的平均分數增加 1 分；又他在該學年度最後一次測驗考了 70
分，那麼他在該學年度全部數學測驗的平均分數就會比前面
1
n
次測驗的平均分數減少 2 分；則 n =？
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10
＜試題到此全部結束＞
頁 3