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臺南市 2020年公私立國民中學暨完全中學數學競賽決賽試題
注意事項：
1、 本試卷試題總計兩大類；第一類為填充題，共8題，每題7分，共56分；第二類為計算及證明題，
共4大題，共44分。
2、 請將答案依題號填入答案卷中；填充題只須填入最終答案，計算證明題則須詳列計算或證明過程。
3、 試題所提供圖形僅供參考；如有根式請化為最簡根式，如有分數請化為最簡分數，否則不予計分。
4、 請以藍筆或黑筆作答，鉛筆作答不予計分。
5、 試題及答案卷的背面可當計算紙使用。
一、填充題
1. 右圖中的四邊形皆是長方形，且四邊形
LQHD
與
EFPQ
的面積相等，四邊形
IMHD
與
EBJM
的面積相等，若
: 3:5AF AB
, 求
:QM ME
.
2. 設
,mn
為正整數滿足
2020m
且
30
m
kn
. 則有一組
,mn
使得
k
是最接近0，
這一組
,mn
的和是多少？
3. 右圖是某城的捷運路線圖，六條捷運線是以 1至6的數字編號，而其路線則以不同
形式及裝飾的線標示。兩條捷運線的交會點是轉運站，可從一線轉乘至另一線。大
明從 A站乘車至 B站，其間每一條捷運線最多搭乘一次，不會回到 A站，到達 B站
就出站。求所有可能的搭乘方法的總數。
4. 兩個等差數列，一個的首項是13、公差是6，另一個的首項是7、公差是10。將所有
在這兩個數列裏的整數，不重複由小到大重新排列得一個新的數列7, 13, 17, 19, 25,
27, 31, 37, 43, 47, 49, …. 求這個數列的第2020項。
5. 如右圖，在
ABC
中
90 ,A
,AB AC
5BC
,在
BC
邊的外側作
BCD
使得
3, 4CD BD
. 過
D
且與
AD
垂直的垂線交
AC
於
F
. 求
AF
的值。
6. 若
( , )xy
為坐標平面上的一個點，且
,xy
均為整數，則我們稱
( , )xy
為一個格子點。
將坐標平面上第一象限的所有格子點，依如下順序排列
(1,1), (1,2), (2,1),(1,3),(2,2), (3,1),(1,4), (2,3),(3,2), (4,1), (1,5),(2,4),
.
求第2020個點的坐標。
7. 設
n
為正整數，
1000n
，滿足
100 101 102 103
n n n n
除以
7
餘
5
的
n
共有幾個?
8. 如右圖，長方體
ABCD A B C D
中，
E
為
AC
與
BD
的交點，
2AB BC
,
31AA
. 一隻螞蟻從
E
點出發，在長方體上行走，若此螞蟻最多只能走到距
離
E
點2單位長的位置，求螞蟻可能到達的區域面積。
二、計算證明題
1. (10分) 從120至129這十個整數中不重複選取六個數字，證明所選取的六個整數中必有兩個數互質。
2. (10分) 如右圖，
,,X Y Z
分別是正方形
,,ABCD BEFG GHJC
的中心。證明
BZ XY
.
3. (12分) 設
n
是正整數且
22
4 3342nnp
, 其中
p
是質數。求所有可能的
n
的值。
4. (12分) 設
a
是正數且滿足方程
25x a x a
恰有三個解，求
a
的值。