1
臺南市 108 年公私立國民中學數學競賽決賽試題
答題說明：
1. 試題所提供圖形僅供參考。
2. 本試卷單面印刷共有兩張，試題分為兩大題，第一大題為填充題共 10 題，每題 6 分，答案需全對才給分；第
二大題為計算及證明題共 4 題，每題配分於題目後方，共 40 分。
第一大題：填充題
1. 已知一數列
n
a
滿足下列條件：
2
1
a
且
1
1
1
n
n
n
a
a
a
，其中 n 為任意正整數，則
2019
a
的值為 。
2. 已知 a 為實數，如果
24
4
4
1
a
a
，則
a
a
2
)
2
(
的值為 。
3. 已知 a 為實數，如果二次方程式
0
7
)
1
(
4
4
2
2
a
x
a
x
的二根之差為 2 ，則 a 的值為 。
4. 已知有 k 個數列，每個數列都是由連續正偶數所組成，且每個數列總和皆為1000 ，則這 k 個數列的首項中最小的
數為 。
5. 設 n 為正整數，如果 n 加上 292 後為一個完全平方數(即為某一個整數的平方)，且 n 加上 200 後為另一個完全平方數，
則 n 的值為___________。
6. 化簡
1
5
2
8
1
5
2
1
5
2
1
5
2
2018
2019
2020
的值為 。
7. 已知四個線段的長度分別為10 公分，15 公分， 20 公分， 35 公分，則以此四個線段所組成的所有梯形中，能圍出
的最大面積為 平方公分。
8. 假設聯立方程組
20
11
1
7
4
2
2
y
x
xy
xy
的解為
a
x
，
b
y
，則所有可能
b
a
的值為
______。
9. 如下圖，直線
2
2
x
y
與 x 軸、 y 軸分別交於 A 、 B 兩點，將 OAB
繞點 O 逆時針方向旋轉
o
90 後得
到 OCD
。若直線 CD 與直線 AB 交於點 M ，則線段 BM 的長度為______。
10. 已知 m ， n 均為正整數，且滿足
n
m
4
2
及
m
n
4
2
皆為完全平方數，則所有可能
n
m
的值為 。
O
A
B
M
C
D
x
y
2
第二大題：計算及證明題
1. 已知 a 、 b 、 c 、 d 、 e 為 5 個相異正整數，且
e
d
c
b
a
。如果將這 5 個數兩兩相減後（大數減小數）可以得
到10 個相異正整數，試求 e 的最小可能值？並求在此情況下 a 、 b 、 c 、 d 的值為何？ (8 分)
2. 如圖，滿足條件：
BC
AD //
，
BC
CD
，
o
ABC
60
，
8
AD
，
12
BC
的四邊形 ABCD 中，點 N 是
四邊形 ABCD 邊 AD 上的任意一點，試求 BNC
周長的最小值為何？(12 分)
3. 在平面直角坐標系中，點 O 為原點。已知直角 AOB
中，
o
AOB
90
，兩股 OA 與 OB 分別在 y 軸和 x 軸正向上，
並且 OA 與 OB 的長度分別是方程式
0
12
7
2
x
x
的兩根，又
OB
OA
。有一動點 P 從點 A 開始在線段 OA 上以每
秒1個單位長的速度朝點 O 移動；同時另一動點 Q 從點 B 開始在線段 AB 上以每秒 2 個單位長的速度朝點 A 移動，
經過 t 秒後得出 APQ
與 AOB
相似，試問此時 t 的值為何？ (10 分)
4. 已知 p 為質數，如果方程式
1
19
3
5
5
2
2
p
p
x
x
有正整數解，試問所有可能的 p 值為何？ (10 分)
A
B
C
D
N