臺南市 2014 年公私立國民中學暨完全中學數學競賽決賽試題
注意事項：
1、 本試卷試題總計兩大類；第一類為填充題，共 6 題，每題 8 分，共 48 分；第二類為計算及證明題，
共 4 大題，共 52 分。
2、 請將答案依題號填入答案卷中；填充題只須填入最終答案，計算證明題則須詳列計算或證明過程。
3、 試題所提供圖形僅供參考；如有根式請化為最簡根式，如有分數請化為最簡分數，否則不予計分。
4、 請以藍筆或黑筆作答，鉛筆作答不予計分。
5、 試題及答案卷的背面可當計算紙使用。
一、填充題
1. 若八位數 273 49 5
x
y 是
495 的倍數，求 x
y
的值。
2. 已知正立方體ABCD-EFGH (如右圖)，有一隻螞蟻從A點出發，沿著正立方體的邊界
爬行，到達G點後立即停止。已知除了八個頂點之外，其餘邊界上的點都至多被螞蟻爬
行過一次，試問：從A爬行至G點共有多少條路徑可供螞蟻選擇？
3. 若一個三位數
abc
(
a
為百位數，
b
為十位數，
c
為個位數)為質數，且
,
bca cab
亦為
質數，則稱
abc
為「奇妙數」，那麼最大的奇妙數與最小的奇妙數的和為多少？
4. 如右圖，凸五邊形
ABCDE
中，
90
ABC
AED
,
3,
AB
AE
1.5,
BC
4,
CD
2.5,
DE
求
ABCDE
的面積。(答案需化簡且不能有根號)
5. 數列
1, 2,3, 4,5,6,7,8,10,12,14,...
產生的規則如下：若已知數列中的某一項為
a
,
且小於或等於
a
的正整數中，共有 t 個整數是立方數(某整數的三次方)，則
a
的下一項是 a t
.
求這數列第
104
項的值。
6.
如右圖，由1開始逆時針在格子填上數字，數字1寫一次，數字2二次，
數字3三次，餘此類推。而有斜線經過的格子，表示填到此格時，剛好填
滿一個正方形，且它的邊有偶數個格子。現在，從斜線上的數字3出發，
沿著斜線往左下方的數列依序為 3, 6, 8, 11, ..., 試求此(斜線)數列的第50項
的值。
二、計算證明題
1. 令
1
1
1
1
1
1
2
3
4
2013
2014
A
且
1
1
1
1
.
1007
1008
2013
2014
B
試判斷 A 和 B 的大小關係
為何？詳細說明你的理由。(12分)
2. 已知 c 為實數，且 x 的方程式
2
2
|
2 |
x
c
x
x
恰有 3 個相異的(實數)根，試求 c 的範圍。(12分)
3. 若 p 和
2
8
p
都是質數，試證：
3
4
p
也是質數。(12分)
4.三角形
ABC
是邊長為1單位的正三角形，在
BC
邊上取兩點 , ,
D E 使得
,
AD
AE 為
A
的三等分角線，即
20
BAE
EAD
DAC
(如右圖).
試證：(1) ADE
的面積為
3
4
CD AD
(2)
CD AD
DE
. (16分)
11 11 10 10 10 10 10 10
11 8
8
8 7
7
7 10
11 8
5
5 5
4
7 10
11 8
5
2 2
4
7 10
11 8
5
3 1
4
7 10
11 8
6
3 3
4
7
9
11 8
6
6 6
6
6
9
11 9
9
9 9
9
9
9
11 11 12 12 12 …