臺南市 2015 年公私立國民中學數學競賽第二階段試題
注意事項
1、本試卷共三頁。
2、本試題共分兩部分，第一部分：第 1 到第 20 題，每題 3 分，共 60 分；第二部分：第 21
到第 30 題，每題 4 分，共 40 分；合計 30 題，總分 100 分。
第一部分（第 1 到第 20 題，每題 3 分，共 60 分）
1. 設
732
.
1
a
，則下列何者正確？
(A)
a
a
a
3
3
3
3
(B)
3
3
3
3
a
a
a
(C)
3
3
3
3
a
a
a
(D)
3
3
3
3
a
a
a
2. 已知
3
a
，計算
2
2
2
2
2
2
3
6
2
2
4
4
4
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=?
(A) 2
3
(B) 2
3
(C) 2
3
(D) 2
3
3. 計算
6.25
20
24
23
5.5
1
4
3
15
23
1
8
2
。
(A)
5
.
49 (B) 50 (C)
5
.
50 (D) 51
4. 在
ABC
中，已知
63
BAC
，又
D
為
BC
上一點，使得
BD
DA
AC
， 則
DAC
的角度為何？
(A)
2
(23 )
5
(B)
24
(C)
39
(D)
3
(39 )
5
5. 有兩組數，其中一組數共有 20 個，總和為 1264，而另一組數的平均數為 88，又這兩組數的總平均為 80，請問兩組合
計共有多少個數？
(A) 42 (B) 54 (C) 62 (D) 64
6. 設 ,
a b 為相異正數，規定運算
為
a b
a b
a b
，如果 3
3
n
時，則 n 值為多少?
(A) 1 (B)
3
2
(C)
5
2
(D) 3
7. 已知一等差數列{ }
n
a
，它的第 5 項
5
88
a
，第 8 項為
8
79
a
，則使
n
a 為負數的最小正整數
n 值為多少?
(A) 34 (B) 35 (C) 36 (D) 37
8. 請問這 5 個數 3 11, 4 7, 5 5, 6 3, 7 2 中有多少個數大於 10?
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
第 1 頁
F
E
A
C
B
D
9. 已知 a 、 b 、 c 為三個連續的正偶數，且
288
ab bc
，求此三數之和。
(A)
32
(B)
36
(C)
42
(D)
46
10. 已知 ABCD 為一梯形，
AB
DC //
，
o
BAD
CDA
90
， E 是 AD 的中點，且
BC
EC
， 又
3
DC
，
4
EA
DE
，則
AB
？
(A)
14
(B)
32
3
(C)
41
3
(D)
17
11. 設 x 和 y 均為自然數，已知 x 除以 24 餘數為 19， y 除以 36 餘數為 31，則
2015
2014
y
x
除以 6 之餘數為
(A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 5
12. 如果 ,
a b 為一元二次方程式
2
3
1 0
x
x
的二個解，且 a b
，則
2
2
1
1
a
b
=?
(A) 3 5
(B)
5
(C) 5 (D) 3 5
13. 設 ( )
f n 表示正整數 n 之最大奇因數，例如 (3)
3, (10)
5
f
f
，則 (1)
(2)
(3)
(50)
f
f
f
f
=?
(A) 842 (B) 843 (C) 844 (D) 845
14. 計算
20
1
2
11
1 22
2
個
10個
=?
(A)
10
1
11
1
個
(B)
2
22
2
10個
(C)
10
3
33
3
個
(D)
10
99
9
個9
15. 等腰三角形 ABC 中， C
＝
90 ，且
2
AB
，以 A 為圓心，作一圓分別交 AB 及 AC
於
D
、
E
二點，使得
DE
弧將
ABC
分成面積相同的兩部分; 又以
B
為圓心，
BD
為半徑作
圓，交
BC
於
F
點，則圖中陰影部分的面積為多少?
(A)
2
(B)
4
(C)
(D)
1
4
16. 設 n 為正整數，我們將 1+2+3+…+n 的和稱為「第 n 個三角形數」，例如 1、1+2=3、1+2+3=6 分別是第一個、
第二個、第三個三角形數，如果將第 n 個三角形數 1+2+3+…+n 中的某一個數多加一次而得到 2015，試問此
第 n 個三角形數之值為何?
(A) 1952 (B) 1953 (C) 1954 (D) 1955
17. 直角三角形 ABC 中，
90
C
，且斜邊
35
AB
。今在三邊 AB 、 AC 及 BC
上分別取一點
, ,
E D F
，使得四邊形
CDEF
為一正方形，且其邊長為 12，如圖所示。
則此直角三角形
ABC
長股之長為多少?
(A) 15 (B) 21 (C) 28 (D) 32
18. 若 101 位數字
9
50
99
99
個
5
50
55
55
個
是 7 的倍數，則
的所有可能值之和為
(A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 12
19. 化簡 7 2(1
3)(1
5)
為 x
y
z
的形式，則 xyz 是多少？
(A)
15
(B)
35
(C)
105
(D)
225
20. 若
1
5
x
x
， 則
2
4
2
?
1
x
x
x
(A)
1
24
(B)
24
(C)
1
26
(D)
26
第二部分（第 21 到第 30 題，每題 4 分，共 40 分）
21. ABCD 為一梯形，
AB
DC //
，
BA
BD
又
BC
AC
，且
BC
AC
， 則 BAD
角度為何？
(A)
30
(B)
45
(C)
60
(D)
75
第 2 頁
P
B
C
A
Q
F
B
A
C
D
E
56
F
P
E
D
C
B
A
30
40
70
22. 假設 a 為一個正數，且 a 的純小數部分為 b ，也就是說
1
0
b
（例如： 14159
.
3
的小數部分為 14159
.
0
）；已
知
70
2
2
b
a
，則 a 的值為多少？
(A)
8
1
8
(B)
8
3
8
(C)
8
5
8
(D)
8
7
8
23. 有 10 個不同的正整數其總和是 55 ，從中取出三個數後，餘下來的正整數總和是 35 。請問取出的三個數
的乘積最小值會是多少？
(A)
80
(B)
90
(C)
120
(D)
140
24. 已知 a 、 b 、 c 、 d 皆為正整數，其中只有一個是偶數，其餘是奇數，且其中任兩數相加，得到的和分別
是 110 、119 、 98 、 87 、 75 、 66 ，請問唯一的那個偶數是多少？
(A) 42 (B) 44 (C) 46 (D) 48
25. 如右圖，在
ABC
中，
12
AB
，
8
AC
，
P
點和
Q
點在 BC 上，
使得
QC
BP
且
AQ
是
BAC
的角平分線，試求
2
2
AQ
AP
之值。
(A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 無法求出
26. 已知
d
c
b
a
,
,
,
分別表示 0 至 9 中的四個不同數字，如果兩個二位數10a d
與10b d
的乘積恰好是一個三位數
100
10
c
c c
，則 a b c d
之值為多少?
(A) 21 (B) 23 (C) 25 (D) 27
27. 已知邊長為 1 的正方形 ABCD 中， P 為內部一點，使得
75
APB
，則 ABP
與 CDP
面積之和為多少?
(A)
1
4
(B)
1
3
(C)
1
2
(D)
2
3
28. 已知 A、B、C、D 為平面上四點且滿足
10
AB
BC
AC
CD
，且
17
AD
，則 ADB
之度數的度數為多少
度？
(A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75
29. 如圖， ABC
中， D 、 E 、 F 三點分別在 BC 、 CA 、 AB 三邊上
使得 DE // AB ，又 BDF
之面積為 9， AEF
之面積為 15，
CDE
之面積為 32，則 DEF
與 ABC
面積之比值為下列何者?
(A)
1
6
(B)
1
5
(C)
2
7
(D)
2
9
30. 三角形 ABC 中， , ,
D E F 分別為邊 BC ， AC 及 AB 上的點，
使得 AD ， BE ，及 CF 交於一點 P ，且將三角形 ABC 分割成 6 個小三角形，
其中四個三角形
,
,
,
CDP
BDP
BFP
AEP
的面積分別為 30, 40, 56 及 70，
如圖所示，則三角形 ABC 的面積為多少?
(A) 275 (B) 285 (C) 300 (D) 315
第 3 頁