【 背 面 尚 有 試 題 】
臺 南 市
112 年 公 私 立 國 民 中 學 數 學 競 賽 九 年 級 試 題
一、選擇題：每題
3 分，共 18 分。
1. 已知 x、y 皆不等於 0，且 x＜y，若 |x|＋|y|＝|x－y|，請問下列何者正確？
(A) x＞0 且 y＞0
(B) x＜0 且 y＞0 (C) x＜－1 且 y＜0 (D) x＜－1 且 y＜－1
2. 已知 m、n 皆為整數，符合 22m＋23n＝24，請問下列關於 23m＋22n 之值的敘述，何者恆成立？
(A) 21
(B) 奇數
(C) 7 的倍數
(D) 3 的倍數
3. 已知
a
b
，
c＝
5a－3b
2
，
d＝
5a＋3b
4
，請問下列何者正確？
(A) a＜c
(B) a＜d
(C) c＜b
(D) c＜d
4. 已知 n 為正整數，且 4
2
n
＝
24
3
，請問
n＝？
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
5. 阿騰將邊長 1 公分的小正方形磁磚設計成 A、B 兩款樣式，依下圖的順序接起來，
請問圖二十的全長是多少公分呢？
(A) 41
(B) 42
(C) 60
(D) 79
6. 學校將三百多本書分給全校九年級學生。首先，九年 1 班先拿 n 本再拿剩下的
1
10，
接下來九年
2 班拿走 2n 本再拿剩下的
1
10，這時發現兩班分到的書本數量一樣多，
請問書的總數在下列哪一個範圍內？
(A) 300～320
(B) 321～340
(C) 341～370
(D) 371～400
圖一
圖二
圖三
…….
圖二十
……..
A 款 B 款
作答說明：
1. 本試卷題目共三頁，有選擇題(單選)、填充題及非選擇題，總計 20 題，總分 100 分。
2. 請將答案填寫在答案卷中。
3. 非選擇題需包含完整的推論或計算過程，只有答案將不予計分。
4. 本試卷圖形非依實際比例繪製，僅供參考。
【 背 面 尚 有 試 題 】
二、填充題：每題
5 分，共 50 分。
1.
已知
x
2
－
ax＋b＝0 的兩根均為正整數，且(－1)
2
－
a·(－1)＋b＝51，則數對( a , b )＝________。
2. 已知 a、b、c 都是質數，滿足
a＋b＋c＝142
ab＋bc＋ca＝4451，則 abc 的乘積為________。
3. 已知 M
2
＝
2022
2
＋
(2022
2
)×(2023
2
)＋2023
2
，則
M 的各個位數的數字和為________。
4. 一等差數列共有 n 項，每一項皆為 0 或正數，且滿足 a
11
2
＋
a
12
2
＋
a
13
2
＝
a
14
2
＋
a
15
2
，則首項
a
1
之值為
________。
5. 如右圖，ABCD 是正方形， BD 為正方形對角線，若 CE
BD
∥
，且
=
BD BE ，
則∠
BDE＝________。
6. 計算
(2023－112)(2023
2
－
2023×112＋112
2
)
(1911＋112)(1911
2
＋
1911×112＋112
2
)＝________。（請化成最簡分數）
7. 已知 x
2
＋
24x－112＝(x＋16)(x＋7)，則 6x
2
－
1314x＋2023 之值為________。
8. 已知 x
2
＋
(3－2a)x＋2－4 a＝0 有大於 0 的解，則 a 的範圍為________。
9.
有 n 個正方體積木堆疊的立體模型，它的前視圖、右視圖、上視圖圖形如下所示，則 n＝________。
前視圖
右視圖
上視圖
10.
已知
(x＋2y)：(3y＋4z)：(z＋4x)＝3：8：4，則 (x－2y)：(3y－4z)：(z－4x) ＝________。
前視圖
右視圖 上視圖
【 試 題 結 束 】
三、非選擇題：每題
8 分，共 32 分。
(請將完整推論或計算過程寫在答案卷上，只有答案將不予計分。)
1.
小布想用每張
10×10 公分的綠色正方形色紙對裁成直角三角形，在牆上拼貼出聖誕樹的圖形，貼的規則如下圖所示：
(1) 小布如果堆疊一棵有 27 層三角形的聖誕樹，請問她最少需要買幾張綠色的正方形色紙呢？
(2) 如果牆面高 200 公分，小布的聖誕樹貼得下嗎？請說明理由。
2.
中中停車場收費標準如右圖，分為一般臨停收費方式及會員收費方式。
(1) 阿宏到繳費機繳費，螢幕上的時間是 15:22，選擇一般臨停應繳金額
為
105 元，請問阿宏最早是幾點幾分入場停車呢?
(2) 虎哥考慮申辦停車場會員，不過要先繳交 3000 元年費，如果以每天
停車
8 小時來計算，一年內至少要停幾天以上才划算呢？
3.
(1) 若
1
3
5
99
2
4
6
100
A
；
2
4
6
100
3
5
7
101
B
。
請比較
A、B 之大小關係，並說明原因。
(2) 若
1
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
26
27
28
Q
P
，其中
Q
P
為最簡分數。
已知
Q 的值必為 29 的倍數，請說明原因。
4.
右圖△
ABC 中，
:
:
1: 2 :1=
:
:
AD DF FB
AE EG GC
，請回答下列問題：
(1)
:
:
DE FG BC ？
(2) 圖中斜線部分面積為△ABC 面積的多少倍？
A
E
C
D
B
F
G
停車收費標準公告
▲一般臨停：
＊前三小時每小時 20 元
＊第四小時開始每 30 分鐘 15 元
(不足 30 分鐘以 30 分鐘計)
每日最高收費 210 元
▲會員(年費 3000 元)：
＊30 元可停放 3 小時
＊第四小時開始每小時 10 元
(不足 1 小時以 1 小時計)
每日最高收費 80 元
中中停車場敬啟
10cm
10cm
10cm
10cm
第一層：
1 個三角形
第二層：
2 個三角形
第三層：
3 個三角形
第四層：
2 個三角形
第五層：
3 個三角形
第六層：
4 個三角形
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