臺南市 109 年公私立國民中學數學競賽複賽試題
試題說明：
本試題共 22 題，分為兩部分。第一部分：第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分；
第二部分：第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分；總分 100 分。
請從每題的四個選項中選出最合乎題意的答案。
第一部分（第 1 到第 10 題，每題 4 分，共 40 分）
1.
有一堆形狀如右的地磚，其中四邊形 ABCD 與 BEFG 均為正方形，三角形
BCG 中，
15
CBG
. 利用這些地磚，以
AD
及
EF
為銜接邊，拼出一個
環狀，內部可圍出一個封閉的正
n
邊形，求
n
.
(A) 48 (B) 24 (C) 12 (D) 6
2.
右圖中的三張字條上各寫上一個四位數，這三個四位數的和是四位數
56
ab
，
且能被 11 整除，有多少個可能的數對
( , )
a b
？
(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1
3.
在一個長 400cm 的環形管道內，蝸牛甲、乙、丙分別以等速每小時 3, 5, 7cm 移動，甲以逆時鐘方向
走，而乙、丙是以順時鐘方向走。開始時甲、丙是在同一個位置上，而乙是在甲的順時鐘方向 80cm
處。幾小時後三隻蝸牛會第二次相遇？
(A) 40 (B) 200 (C) 240 (D) 360
4.
陽明國中 105 學年度新生的男女生比例為
8 : 7
. 106 學年度因少子化，男新生減少
34
人，女新生減少
36
人，此時新生的男女生比例變為
7 : 6
,則陽明國中 106 學年度共有多少新生?
(A)
580
(B)
650
(C)
720
(D)
790
5.
已知 ,
a b 為整數，若
2
|
1|
2(
1)
3
a
b
，則數對 ( , )
a b 共有幾種可能?
(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
6.
已知方程式
2
540
455629
0
x
x
與
2
536
459617
0
x
x
有共同的一個解，求此共同解。
(A) 983 (B) 991 (C) 997 (D) 1009
7.
已知
,
x y
均為正整數，
1000
x
y
且
x
y
為完全平方數，滿足此條件的數對 ( , )
x y 共有幾組?
(A) 15 (B) 16 (C) 17 (D) 18
8.
有多少個三位數，它是它的各位數和的 55 倍？
(A) 9 (B) 12 (C) 13 (D) 14
9.
一個演講廳座位共有 10 排，每排有 10 張椅子，在一場演講中，共有 68 個聽眾入座，每個人不是單
獨坐，就是只有另一人與他比鄰而座。在各種可能的情況下，一排中連續的空座位數最多有多少個？
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7
10. 已知坐標平面上四個點 (0,1), (1, 4), (2,5),
(5, 2)
A
B
C
D
,求四邊形
ABCD
的面積。
(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16
第二部分（第 11 到第 22 題，每題 5 分，共 60 分）
11. 從1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 中任取四個相異數，利用此四個數組成的四位數中，最大的減掉最小的，可得另
一數，記做
x
. 例如:若取到的四個數為1, 2,3,9 ,則
9321 1239
8082
x
.求
x
的可能值的個數。
(A)
5
(B)
8
(C)
21
(D)
64
12. 設正整數
n
滿足 3
n
整除1 2 3
108 109 . 則
n
的最大可能值為何？
(A) 53 (B) 36 (C) 17 (D) 5
13. 右圖中的正三角形 ABC 的邊長為 2, 點
2
,
P P
分別是邊 AC 與 BC 上的點，
1
P 為
ABC 外一點。一動點開始時位於
P
點，先將它以
A
為中心順時針旋轉 90
後
到達點
1
P 的位置；再將此動點以
B
為中心順時針旋轉某一角度後，到達
2
P 的
位置；最後將此動點以 C 為中心順時針旋轉 60
後，回到原來的位置
P
點上。
則此動點移動的路徑總長度是多少？
(A)
2
(1
3)
3
(B)
(3 2 3)
3
(C)
2
(3 2 3)
3
(D)
2
(3 2 3)
9
14. 將 1 至 9 的整數分為三組，每組三個數，考慮各分組中的數字和，有多少種分組方式使得這三個分組
的數字和形成一個公差是 3 的等差數列？
(A) 13 (B) 14 (C) 15 (D) 16
15. 在右圖中的蜂巢中，第一列的數字只有 1, 第二列的數字是 2, 1,第三列
的數字是 2, 3, 1, 而自第三列開始，一個巢格中的數字是其上一列與它
相鄰的巢格的數字和。第二十列的數字和與下面那一個選項最接近。
(A)
4
10
(B)
5
10
(C)
6
10
(D)
7
10
16. 正整數數列
1
2
,
,...,
n
a a
a 滿足：對所有大於 1 的整數 k ，若
1
k
a
為偶數，則
1
2
k
k
a
a
；若
1
k
a
為奇數，則
1
1
2
k
k
a
a
。若已知
50
1
2
1137
a
，且
1
m
a
，求
m
的最小值。
(A) 32 (B) 42 (C) 52 (D) 62
17. 求所有小於或等於 2020 且與 2020 互質的正整數的和。
(A)
808000
(B)
808080
(C)
404040
(D)
404000
18. 對於任何正數
x
,[ ]
x 表小於或等於
x
的最大整數。例如：[3.14]
3, [2.71]
2 . 已知方程式[ [ ]]
109
x x
的解是 a
x
b , 則 b
a 的值為何？
(A) 0 (B) 0.1 (C) 0.5 (D) 1
19. 右圖中的正方形
,
ABCD EFGH
的邊長分別是 4, 5. 已知
5
AE
. 則斜線區
域的面積是多少？
(A) 19.5 (B) 20 (C) 28 (D) 31.5
20. 整數數列
1
1
2
0
,
,
,
a
a
a
滿足
1
2
10
5
1
a
a
a
. 將數列的第四項
4
a 、第七項
7
a 及此數列的平均數
依序寫出，下列選項何者不可能是寫出的這三個數?
(A) 3, 4, 3.8 (B) 2, 3, 3.2 (C) 2, 4, 3.5 (D) 2, 4, 3.6
21. 三個數
, ,
a b c 滿足
2
2
2
2
0,
0,
0,
0,
0
ac
bc
a
b
b
c
a
c
，下列何者正確？
(A) b
a
c (B) c
a
b (C) a
b
c (D) c
a
b
22. 數列
2
1 1 1 2 1
1 2 3
,
,
,
,
,
,
,
,
, ...
2 3 4 4 5 5 6 6 6
中的各項均形如
y
x
，其中
2
x
y
，求此數列的第
2020
項。
(A)
31
63
(B)
40
90
(C)
251
1010
(D)
1010
2020