加載中. ..
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C
F
A
B
E
D
臺南市 105 年公私立國民中學數學競賽決賽試題
應答注意事項：
一、 本試題共兩頁分兩大題，第一大題為 10 題填充題，每題 6分；第二大題為計算及證明題，共 4題，
每題 10 分。
二、 填充題答案請書寫於答案本中所標示的位置，計算及證明題請依題號順序詳列算式或證明過程。
三、本試題所提供之圖形僅供示意參考。
第一大題：填充題
1. 若
2016
5123
x
，試求
43342512 xxxx
的值為____________。
2. 有
ba,
兩數，且兩個一元二次方程式
016
2 axx
與
020
2 bxx
，有一個共同的解。若上述兩個
一元二次方程式的三個相異解，恰形成一個公差為 2的等差數列，則
ba
的值為 。
3. 已知在一圓周上自某一點開始，依順時針方向分別依序填入 268 個整數，使得依順時針方向數起，每
20 個連續的數之和都是 75。如果在第 17 個位置上填入整數 3，在第 83 個位置上填入整數 4，且在第
144 個位置上填入整數 9，那麼第 210 個位置上的整數是____________。
4. 有5個數
edcba ,,,,
，其數值分別為-1, 0, 1 中的任一個，則
edcba 432 3333
的值是正整數共
有_________個。
5. 已知
,ab
為二數，且滿足
| | 10a a b
及
| | 12a b b
，則
ab
之值為____________。
6. 小華將一個大長方形切割成 6塊小長方形 A、B、C、D、E、F (如下圖)，若長方形 A面積為
a
，長方形
B面積為
b
，長方形 C面積為
c
，長方形 D面積為
d
，則長方形 E與長方形 F之面積和為__________。
（請以
dcba ,,,
表示）
7. 已知六邊形 ABCDEF 之各內角度數相等，且
11 BCAB
，
3 CDFA
，則
DEBC
的值為 。
8. 假設
tsr ,,
是三個相異的正整數，而且可以使得
rst trstrs 1
也是正整數，則
tsr rttssr
222222
所有可
能的值為 。
第1頁
P
B
C
A
Q
9. 已知
n
為一個五位數，將
n
除以 100，其商為
q
，及餘數為
r
，如果
qr
為11 的倍數，則滿足這樣條
件的所有
n
值共有_____________個。
10. 我們規定：當一個多邊形的所有對角線都在該多邊形的內部時，我們將此多邊形稱為凸多邊形。已知
有一個凸四邊形
ABCD
，其中
6AB
，
8BC
，
6CD
，其中一條對角線
8AC
，則滿足上述條件
的四邊形中， 長的值為整數的所有可能值共有 個。
第二大題：計算題
1. 試求滿足方程式
33
2 yxyx
的所有可能
yx,
的解。(請詳述理由)
2. 設
n
為正整數且
47
222
n
為完全平方數，試求滿足上述條件的所有可能的
n
值為何？(請詳述理由)
3. 如下圖，在
ABC
中
ACAB
，今在
ABC
內部取一點
D
使得
ACBDAB
且
o
DCB 30
，若
2CD
且
372AC
，試求
ABC
面積。(請詳述理由)
4. 如下圖在
ABC
中，
P
和
Q
是
BC
上兩點，使得
AQ
是
BAC
的角平分線且
QCBP
，
AQAP
。試證
明：
222 AQACABAP
。
本試題到此全部結束
第2頁
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