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109 學年度高級中學數學科能力競賽複賽試題
南區（台南區） 筆試（二）{參考解答}
一、假設 S是個包含 10 個相異兩位數整數的集合。證明一定可以從 S中找出兩
個不同的子集使得它們的元素總和一樣。
【參考解答】:
S的子集的元素總合最小可能為 0(空集合)，最大可能為 99+98+…+90=945，所
以總共有 946 種可能(事實上更少)，但是總共有210 =1024這麼多種子集。
所以由鴿籠原理可知至少有兩個不同的子集的元素總合一樣
二、求方程式 𝑥𝑥+𝑦𝑦
𝑥𝑥2−𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦2=3
13的所有整數解。
(提示: 𝑥𝑥2−𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦2=1
4((𝑥𝑥+𝑦𝑦)2+ 3(𝑥𝑥 −𝑦𝑦)2))
【參考解答】：因為 𝑥𝑥2−𝑥𝑥𝑦𝑦+𝑦𝑦2=1
4((𝑥𝑥+𝑦𝑦)2+ 3(𝑥𝑥−𝑦𝑦)2)，所以
令 (𝑥𝑥+𝑦𝑦)=𝑎𝑎,(𝑥𝑥−𝑦𝑦)=𝑏𝑏，則原方程式可以整理為
4𝑎𝑎
𝑎𝑎2+ 3𝑏𝑏2=3
13 ⟺52𝑎𝑎= 3(𝑎𝑎2+ 3𝑏𝑏2)
由上式可知 𝑎𝑎> 0 且 𝑎𝑎 為3的倍數。設 𝑎𝑎= 3𝑘𝑘，𝑘𝑘 為正整數，則
52k = 3(3𝑘𝑘2+𝑏𝑏2)
所以 𝑘𝑘 是3的倍數。設 𝑘𝑘= 3𝑚𝑚，𝑚𝑚 為正整數，則 52𝑚𝑚=27𝑚𝑚2+𝑏𝑏2。
由 52𝑚𝑚 −27𝑚𝑚2=𝑏𝑏2≥0 可知 𝑚𝑚= 1，因此 𝑘𝑘= 3 ⟹ 𝑎𝑎 = 9, 𝑏𝑏= ±5。
解聯立方程組 �𝑥𝑥+𝑦𝑦= 9
𝑥𝑥−𝑦𝑦 = ±5 可得原方程式的整數解為 (𝑥𝑥,𝑦𝑦)=
(7,2), (2,7)。
三、已知
812
8
3
3
=
+
+abba
，且
0<
a
，
0<b
，求 a + 2b 之值為何？
【參考解答】
0)42244)(2
2
(8
128 2233 =++−++−
+=
−++ baaqbba
b
aabba
0
2
2=
−
+ba
或
042244
22
=++−++ baabb
a
0)2()22
(
)2
(
08
44
882
222
2
2
=−++++
=
++
−++
bab
a
ba
ab
ba
2−=a
，
1−=b
故a + 2b = -4
四、設
cx
b
aaxxf +
−
−−
=)1
)(
()( 2
,
0≠a
。 若
1|| ≤x
，則
2|)(| ≤xf
。
當
1
|
|≤x
時，試求
|
2| abx +
的最大值。
【參考解答】
c
ba
f+
−
=)
0(
，
caf +=)1(
，
cbaf +−=− 23)1(
)
0()
1
(
)]
0
(
2)
1
()
1(
[
2
1
ff
b
f
f
f
a
−
=
−
+
−=
=+ |2| abx
|
)1
()
2)(0
(
)
1(
)1
(
|−
++−
+f
xf
f
x
12
]1
|
2
||
1[|2
≤
+++
+≤ x
x