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109學年度高雄市高級中學數學科能力競賽試題（二）
注意事項：(1)作答時間：1小時 。不可使用電算器 。
(2)本試卷共五題，滿分 21 分。每題配分標於題末。請將計算及
證明題演算過程或理由，依序寫在 答案卷 上。
(3)試題紙與答案卷請一併繳回。
(4)需使用黑色或藍色筆作答
1. 已知 𝒂𝒂,𝒃𝒃,𝒄𝒄 三數滿足 𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄−𝟑𝟑=𝟐𝟐 且𝟏𝟏
𝒂𝒂+𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒃𝒃−𝟏𝟏+𝟏𝟏
𝒄𝒄+𝟗𝟗 =𝟐𝟐，其中
2, 5, 9a bc≠− ≠ ≠−
，試求�(𝒂𝒂+𝟐𝟐)𝟐𝟐+ (𝒃𝒃−𝟏𝟏)𝟐𝟐+ (𝒄𝒄+𝟗𝟗)𝟐𝟐 之值。 （4分）
2. 已知 x, y, z 是正數且滿足�𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝒚𝒚=𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐=𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐=𝟐𝟐𝟗𝟗，試求 𝟐𝟐+𝒚𝒚+𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 之值。
(4 分)
3.
∆
ABC 中，
AB
=
AC
，且 D、E、F三點分別在
BC
、
CA
、
AB
三邊上，使得
DE
//
AB
。如果
∆
BDF 之面積為 9，
∆
AFE 之面積為 15，
∆
DCE 之面積為
32，試求
∆
DEF 與
∆
ABC 面積之比值。 （4
分）
4.
ABC∆
中，
75 , 45ABC BCA
°°
∠=∠=
，如果
P
為
BC
上的點使得
2BP PC=
，
試求
APB∠
的度數。 （4分）
5. 已知
,ab
均為四位數，滿足
3ba=
且
,ab
均由相同的數字組成(順序排列除外)，
試求滿足這樣條件之最小的
a
值。（首位數字均不為零） (5 分）