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109 學年度高雄市高級中學數學科能力競賽試題（二）參考解答
注意事項：(1)作答時間：1小時 。不可使用電算器 。
(2)本試卷共四題，滿分 21 分 。每題配分標於題末。請將計算及
證明題演算過程或理由，依序寫在 答案卷 上。
(3)試題紙與答案卷請一併繳回。
(4)需使用黑色或藍色筆作答
1.已知 𝒂𝒂,𝒃𝒃,𝒄𝒄 三數滿足 𝒂𝒂+𝒃𝒃+𝒄𝒄−𝟑𝟑=𝟐𝟐 且 𝟏𝟏
𝒂𝒂+𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒃𝒃−𝟏𝟏+𝟏𝟏
𝒄𝒄+𝟗𝟗 =𝟐𝟐，其中
2, 5, 9a bc
≠− ≠ ≠−
，試求�(𝒂𝒂+𝟐𝟐)𝟐𝟐+ (𝒃𝒃−𝟏𝟏)𝟐𝟐+ (𝒄𝒄+𝟗𝟗)𝟐𝟐 之值。 （4分）
【參考解答】： Ans: 9
令 𝟐𝟐=𝒂𝒂+𝟐𝟐,𝒚𝒚=𝒃𝒃−𝟏𝟏,𝟐𝟐=𝒄𝒄+𝟗𝟗
所以 𝟐𝟐+𝒚𝒚+𝟐𝟐=𝟗𝟗 且 𝟏𝟏
𝟐𝟐+𝟏𝟏
𝒚𝒚+𝟏𝟏
𝟐𝟐=𝟐𝟐
故 𝟐𝟐𝒚𝒚+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐=𝟐𝟐
所以
�(𝒂𝒂+𝟐𝟐)𝟐𝟐+ (𝒃𝒃−𝟏𝟏)𝟐𝟐+ (𝒄𝒄+𝟗𝟗)𝟐𝟐
=�𝟐𝟐𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐
=�(𝟐𝟐+𝒚𝒚+𝟐𝟐)𝟐𝟐−𝟐𝟐(𝟐𝟐𝒚𝒚+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐)
=𝟗𝟗
2. 已知 x, y, z 是正數且滿足�𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝒚𝒚=𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐=𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐=𝟐𝟐𝟗𝟗，試求 𝟐𝟐+𝒚𝒚+𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐 之值。
(4 分)
【參考解答】Ans: 37.5
將 𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝒚𝒚=𝟏𝟏𝟏𝟏 的兩邊同時加 4得
𝟐𝟐𝟐𝟐=𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟖𝟖= (𝟐𝟐+𝟐𝟐)(𝒚𝒚+𝟐𝟐)，
同理可得𝟐𝟐𝟖𝟖=𝟐𝟐𝒚𝒚+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝒚𝒚𝟐𝟐+𝟖𝟖= (𝒚𝒚+𝟐𝟐)(𝟐𝟐+𝟐𝟐)。
10
還可得 𝟑𝟑𝟑𝟑=𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟐𝟐𝟐𝟐+𝟖𝟖= (𝟐𝟐+𝟐𝟐)(𝟐𝟐+𝟐𝟐)，則(𝟐𝟐+𝟐𝟐)𝟐𝟐=𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏
𝟖𝟖；因為 x是正
數，所以(𝐱𝐱+𝟐𝟐) = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟐𝟐，𝐱𝐱=𝟕𝟕
𝟐𝟐。(𝐲𝐲+𝟐𝟐) = 𝟖𝟖，𝐲𝐲=𝟐𝟐。(𝐳𝐳+𝟐𝟐) = 𝟔𝟔，𝐳𝐳=𝟖𝟖。
所以𝟐𝟐+𝒚𝒚+𝟐𝟐+𝟐𝟐𝒚𝒚𝟐𝟐=𝟑𝟑𝟕𝟕.𝟏𝟏
3.
∆
ABC 中，
AB
=
AC
，且 D、E、F三點分別在
BC
、
CA
、
AB
三邊上，使得
DE
//
AB
。如果
∆
BDF 之面積為 9，
∆
AFE 之面積為 15，
∆
DCE 之面積為
32，試求
∆
DEF 與
∆
ABC 面積之比值。 （4分）
【參考解答】Ans:
2
9
。
設DEF 面積為 x，
// AB DE
::AB DE BFD AFE DFE∴ =∆ +∆ ∆
=(9+15) : x = 24 : x
且
BDE∆
=
FDE∆
::BDE DEC BD DC⇒∆ ∆ =
=(24-x):x
2
:32 (24 ): 32 768 0x xx x x⇒ = − ⇒+ − =
16x⇒=
因此 △DEF 與△ABC 面積比值=
16 2
72 9
=
。
4.
ABC∆
中，
75 , 45
ABC BCA
°°
∠=∠=
，如果
P
為
BC
上的點使得
2BP PC
=
，
試求
APB∠
的度數。 （4分）
【參考解答】：Ans:
60°
。
設
,,,BC a AC b AB c= = =
利用正弦定理，
ABC∆
中，
2
sin60 sin 45 3
a cc
a
°°
= ⇒=
，
2,
3
BP a=
22
,
33
BP a c
cc a
∴ =⋅= =
BPA BAC∴∆ ∆
故
APB∠
=
60 .BAC
°
∠=
5. 已知
,ab
均為四位數，滿足
3ba=
且
,ab
均由相同的數字組成(順序排列除外)，
試求滿足這樣條件之最小的
a
值。（首位數字均不為零）（5分）
【參考解答】：∵
3|N
，
∴N的數字和可被 3整除，
⇒ M的數字和亦可被 3整除，
⇒
3|M
，
因此
9|N
⇒N的數字和可被 9整除，
⇒M的數字和亦可被 9整除，
⇒
9|M
，（因此
27| N
）
∵四位數中 9的倍數最小為 1008，
1008 3 3024, 1017 3 3051, 1026 3 3078 , 1035 3 3105⋅= ⋅= ⋅= ⋅=
所以，
3105, 1035NM= =
。