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109 學年度高雄市高級中學數學科能力競賽試題（一）參考解答
注意事項：(1) 作答時間：2小時 。不可使用電算器 。
(2) 本試卷共五題，滿分 49 分。每題配分標於題末。計算、證明題
請務必依序寫在 答案卷 上。同時必須寫出 演算過程 或 理由 。
(3) 試題紙與答案卷請一併繳回。
(4) 需使用黑色或藍色筆作答
1.試求 𝟏𝟏
𝟐𝟐��𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°+�(𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°)𝟐𝟐−𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 +�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°−�(𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟏𝟏𝟏𝟏°)𝟐𝟐−𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐�
之值。 (9 分)
【參考解答】：Ans:
1
2
首先，我們要利用關係式 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽−𝟏𝟏=−𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽
接著我們證明對於 𝟐𝟐<𝜽𝜽<𝝅𝝅
𝟐𝟐 和任意自然數 k，則恆有
𝟏𝟏
𝟐𝟐��𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬+�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽−𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐 +�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬−�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽−𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐�= (−𝟏𝟏)𝟐𝟐𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬
事實上，
𝟏𝟏
𝟐𝟐��𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬+�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽−𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐 +�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬−�𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝜽𝜽−𝟏𝟏�𝟐𝟐𝟐𝟐�
=𝟏𝟏
𝟐𝟐�[𝒊𝒊(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬−𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)]𝟐𝟐𝟐𝟐 +[−𝒊𝒊(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬+𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)]𝟐𝟐𝟐𝟐�
=𝒊𝒊𝟐𝟐𝟐𝟐
𝟐𝟐�(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬−𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)𝟐𝟐𝟐𝟐 +(𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝐬𝐬+𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬)𝟐𝟐𝟐𝟐�
=(−𝟏𝟏)𝟐𝟐
𝟐𝟐{𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬−𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬+𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬+𝒊𝒊𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬}= (−𝟏𝟏)𝟐𝟐𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬
令 𝐬𝐬=𝟏𝟏𝟏𝟏° 和 𝟐𝟐=𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐
所以 𝟐𝟐𝟐𝟐𝐬𝐬=𝟑𝟑𝟐𝟐𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐°=𝟏𝟏𝟖𝟖×𝟑𝟑𝟔𝟔𝟐𝟐°+𝟔𝟔𝟐𝟐°
故原式=𝐜𝐜𝐥𝐥𝐬𝐬𝟔𝟔𝟐𝟐°=𝟏𝟏
𝟐𝟐
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2.一隻螞蟻從一個長為 10 單位，寬為 5單位的方格陣中之左下角 A出發，要爬
向右上角的巢穴 B，如圖所示。若螞蟻只能沿著格線向右或是向上移動，且在𝑪𝑪𝟏𝟏
點位置至𝑪𝑪𝟔𝟔 點這 6個位置上，各有一粒砂糖，而 D點的位置是個小水坑。如果螞
蟻是搬運砂糖路過水坑，砂糖就會被溶掉，請問螞蟻搬運哪一粒砂糖回巢時可以
選擇的安全路徑為最多?有幾種選擇? (10 分)
【參考解答】Ans:選擇徑 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟖𝟖−𝑨𝑨 ，共有 644 種。
1. 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟏𝟏−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟑𝟑�=𝟏𝟏𝟔𝟔
2. 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟐𝟐−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟖𝟖��𝟕𝟕
𝟔𝟔�=𝟖𝟖𝟗𝟗𝟐𝟐，𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟐𝟐−𝑪𝑪−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟖𝟖��𝟖𝟖
𝟏𝟏�=𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐，所以安全搬
運𝑪𝑪𝟐𝟐糖回巢的方法有 490-280=210 種。
3. 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟑𝟑−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟏𝟏��𝟕𝟕
𝟏𝟏�=𝟏𝟏𝟏𝟏𝟕𝟕𝟔𝟔，𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟑𝟑−𝑪𝑪−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟏𝟏��𝟑𝟑
𝟏𝟏��𝟖𝟖
𝟏𝟏�=𝟔𝟔𝟕𝟕𝟐𝟐，所以安
全搬運𝑪𝑪𝟑𝟑糖回巢的方法有 1176-672=504 種。
4. 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟖𝟖−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟔𝟔��𝟕𝟕
𝟖𝟖�=𝟗𝟗𝟏𝟏𝟐𝟐，𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟖𝟖−𝑪𝑪−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟔𝟔��𝟑𝟑
𝟏𝟏��𝟖𝟖
𝟏𝟏�=𝟑𝟑𝟑𝟑𝟔𝟔，所以安
全搬運𝑪𝑪𝟖𝟖糖回巢的方法有 980-336=644 種。 =>這種最多
5. 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟏𝟏−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟕𝟕��𝟕𝟕
𝟑𝟑�=𝟐𝟐𝟏𝟏𝟐𝟐，𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟏𝟏−𝑪𝑪−𝑨𝑨∶ �𝟏𝟏
𝟕𝟕�𝟏𝟏�𝟖𝟖
𝟏𝟏�=𝟑𝟑𝟐𝟐，所以安全搬
運𝑪𝑪𝟑𝟑糖回巢的方法有 280-32=248 種。
6. 𝑨𝑨−𝑪𝑪𝟔𝟔−𝑨𝑨∶ �𝟕𝟕
𝟐𝟐�=𝟐𝟐𝟏𝟏
3. 如圖，ABCD 為圓 O的內接四邊形，設𝑨𝑨𝑨𝑨
�
�
�
�
=𝒓𝒓，𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
=
𝒔𝒔，𝑪𝑪𝑪𝑪
�
�
�
�
=𝒕𝒕，𝑪𝑪𝑨𝑨
�
�
�
�
=𝒖𝒖，且其兩條對角線 𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
和 𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
�
相交於 P
點。若∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑩𝑩面積 =𝛌𝛌，試求 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積之值 (請以 r、s、
t、u、 𝛌𝛌 表示 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積) 。(10 分)
A
P
O
D
C
B
7
【參考解答】：Ans:
ru
st
λ
在𝑨𝑨𝑨𝑨
�
�
�
�
上取一點 E使得 ∠𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬=∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪 ，則 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪~∆𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬
故我們可得 𝑨𝑨𝑨𝑨
�
�
�
�
𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
=𝑨𝑨𝑩𝑩
�
�
�
�
𝑩𝑩𝑬𝑬
�
�
�
�
⋯⋯⋯(𝟏𝟏)
連接𝑪𝑪𝑬𝑬
�
�
�
�
。
因為∠𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬=∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪，所以可推得 BCPE 四點共圓。
故可推得 ∠𝑨𝑨𝑪𝑪𝑬𝑬=∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪=∠𝑨𝑨𝑪𝑪𝑪𝑪。
因為 ∠𝑨𝑨𝑪𝑪𝑪𝑪=𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐°−∠𝑨𝑨𝑨𝑨𝑪𝑪=𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐𝟐°−∠𝑨𝑨𝑩𝑩𝑬𝑬=∠𝑪𝑪𝑩𝑩𝑬𝑬
所以∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑪𝑪~∆𝑬𝑬𝑩𝑩𝑪𝑪
故我們可得 𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
𝑪𝑪𝑪𝑪
�
�
�
�
=𝑩𝑩𝑬𝑬
�
�
�
�
𝑩𝑩𝑪𝑪
�
�
�
�
⋯⋯⋯(𝟐𝟐)
由(1)(2)可求得 𝑨𝑨𝑩𝑩
�
�
�
�
𝑪𝑪𝑩𝑩
�
�
�
�
=𝑨𝑨𝑨𝑨
�
�
�
�
∙𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
∙𝑪𝑪𝑪𝑪
�
�
�
�
=𝒓𝒓𝒖𝒖
𝒔𝒔𝒕𝒕
又 ∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積
∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑩𝑩面積 =𝑨𝑨𝑩𝑩
�
�
�
�
𝑪𝑪𝑩𝑩
�
�
�
�
=𝒓𝒓𝒖𝒖
𝒔𝒔𝒕𝒕
所以∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑩𝑩面積 =𝒓𝒓𝒖𝒖
𝒔𝒔𝒕𝒕∆𝑨𝑨𝑪𝑪𝑩𝑩面積 =𝒓𝒓𝒖𝒖 𝛌𝛌
𝒔𝒔𝒕𝒕
4. 一張三角形 ABC 紙張，其中
60ABC∠=°
，今將此三角形對折，使得點 B落
在𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
邊上與 D點重合。令摺線段為線段𝑬𝑬𝑬𝑬
�
�
�
�
，其中 E點位於𝑨𝑨𝑨𝑨
�
�
�
�
邊上，F點位於
𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
邊上，且𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
=𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
。若𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
與𝑪𝑪𝑬𝑬
�
�
�
�
相交於 M點。試證:(𝑬𝑬𝑬𝑬
�
�
�
�
)𝟐𝟐=𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
∙𝑬𝑬𝑭𝑭
�
�
�
�
�
。 (10
分)
【參考解答】
因為𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
=𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
，且角 B為60 度，
因此三角形 BEF 為正三角形，
同理，三角形 DEF 也是正三角形。
因此 𝑬𝑬𝑪𝑪
�
�
�
�
//𝑨𝑨𝑪𝑪
�
�
�
�
，𝑬𝑬𝑪𝑪
�
�
�
�
//𝑨𝑨𝑨𝑨
�
�
�
�
。
所以
CF
BF
DC
AD
B
EA ==
E
，
因為𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
=𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
=𝑬𝑬𝑬𝑬
�
�
�
�
，
所以
CF
EA EF
EF =
。
又因角 AEF=角EFC=120 度。
所以三角形 AEF 與三角形 EFC 相似(SAS 相似)。
因此角 EAF=角FEC=角FEM，所以三角形 AEF 與三角形 EMF 相似(AA 相
似)。
A
P
O
D
C
B
E
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所以
EF
AF
FM
EF =
，所以(𝑬𝑬𝑬𝑬
�
�
�
�
)𝟐𝟐=𝑨𝑨𝑬𝑬
�
�
�
�
∙𝑬𝑬𝑭𝑭
�
�
�
�
�
。
5. 已知實數
,,abc
滿足下列條件:
222222
+ + =1
122325
abc
+++
222222
+ + =1
143445
abc
+++
222222
+ + =1
163656
abc
+++
試求
abc++
之值。 (10 分)
【參考解答】
由題意知，當
222
2,4,6t=
時，滿足分式方程式
222
+ + =1
1 +3 +5
abc
ttt
+
將此分式方程式化簡為
22 22 22
22 2
2 2 2 2 2 2 2 22 22 22
3 2 2 22 22 22 22 222
( +3 )( 5 ) ( +1 )( 5 ) ( +1 )( 3 )
1( 1 )( +3 )( 5 )
( ) [ (3 5 ) (1 5 ) (1 3 )] 3 5 1 5 1 3
(1 3 5 ) (1 3 3 5 5 1 ) 1 3 5
att btt ctt
ttt
abct a b c ta b c
tt t
++ ++ +
=
++
++ + + + + + + +× × +×× +××
=
+ ++ + ×+×+× +××
因此
3 2 2 22 22 22 22 222
(1 3 5 ) (1 3 3 5 5 1 ) 1 3 5tt t+ ++ + ×+×+× +××
=
2 2 2 2 2 2 2 22 22 22
( ) [ (3 5 ) (1 5 ) (1 3 )] 3 5 1 5 1 3abct a b c ta b c++ + + + + + + +× × +×× +××
所以得到一元三次方程式
3 222 2
222222 22 22 22
222 22 22 22
[(1 3 5 ) ( )]
[(1 3 3 5 5 1 ) (3 5 ) (1 5 ) (1 3 )]
135 35 15 13 0
t abct
a b ct
abc
+ + + − ++
+ ×+×+× − + − + − +
+××−××−××−××=
又
222
2,4,6
t=
為此方程式的解，由根與係數性質得
222 222
2+4+6=-(1 3 5) ( )abc+ + + ++
因此
222222
12345691
abc++=+++++=