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109 學年度普通型高級中等學校數學科能力競賽試題
第6 區(屏東高中) 筆試(二) 編號 :
注意事項 :
(1) 時間分配 : 1 小時。
(2) 本試卷共 4 題，滿分 21 分。第一題 5 分，第二題 5 分，第三題 5 分，第四題 6 分。
(3) 將計算、證明過程依序寫在答案卷上。
(4) 不可使用電算器
(5) 試題與答案一同繳回。
一、試求出所有且滿足下列條件的平方數(可化為某個整數的平方)。
a. 大於 100，
b. 個位數與十位數皆不為零，
c. 將其以十進位表示，且去掉其個位數與十位數後仍然是一個平方
數(非減去)。
二、已知一數列 13，25，43，…，它的第 𝑛 項是 𝑎𝑛= 3(𝑛2+𝑛)+7。
證明 : 數列的任一項都不是整數的立方。
三、如下圖所示，將一個鈍角△𝐴𝐵𝐶 (其中∠𝐴𝐵𝐶 = 120°) 繞點 𝐵 順時
針旋轉得 △𝐴1𝐵𝐶1，使得 𝐶 點落在 𝐴𝐵 的延長線上的點 𝐶1 處，連
接 𝐴𝐴1，試證: ∠𝐴1𝐴𝐶 = ∠𝐶1。
四、令 𝐴 = (2+√2)𝑛， 𝐵 = (2 − √2)𝑛， 𝑛 為任意正整數。令
𝐴 = 𝐼 +𝐹， 𝐼 為 𝐴 的整數部分， 𝐹 為 𝐴 的小數部分，試證
𝐹 +𝐵 = 1。
𝐴1
𝐴
𝐵
𝐶1
𝐶