第
6之1頁
教育部
112 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（一）
編號：
01 .
說明：（
1）請先核對答案卷上之編號和你的編號是否一致。
（
2）本試題卷共五大題，請依題號在答案卷上指定位置作答，
試題卷需隨答案卷繳回。
【第一題】
今地面有一準備垂直升空的火箭，此火箭由火箭本體(包括駕駛艙、燃料艙、
推進引擎等等)及燃料艙內之燃料兩部份組成，如圖(一)所示。火箭的質量𝑀會
隨燃料消耗噴發而逐漸減少。
圖(一)
火箭的升空推力取決於兩因素：燃料的噴發率
( 𝑏(𝑡) = −
𝑑𝑀
𝑑𝑡
> 0 )
及用多
少速率
𝑣
𝑟
噴發(
𝑣
𝑟
為相對引擎而言)。通常
𝑣
𝑟
由引擎決定並設為一常數，而
𝑏
則可由電腦調控，為時間
𝑡
的函數。在飛行期間，重力加速度變化不大而視為常
數
𝑔
，且忽略空氣阻力。並令火箭初始及燃料用盡時的質量分別為
𝑀
𝑖
及
𝑀
𝑓
。
(a) 令一開始的燃料噴發率
𝑏
(0)
= 𝑏
0
，請問
𝑏
0
至少要多少才能使火箭升空?
[
5 分]
(b) 當火箭一開始升空時，即保持固定的推力大小。求
𝑀 對時間
𝑡
的函數，並求
燃料耗盡時的時間 𝑇、高度 𝐻、及速率
𝑣
𝑓
。
[10 分]
駕駛艙
燃料
引擎
燃料艙
第
6之2頁
(c) 若當火箭一開始升空時，即保持固定的加速度大小，求解(b)小題中的所有問
題。 [
10 分]
(d) 你認為在燃料量相同下，(b)與(c)兩種噴發方式，何者可以在火箭燃料耗盡時，
得到較大的速度?
[5 分]
第
6之3頁
【第二題】
四個在 x 軸上的點電荷，其所帶電量為−𝑄
、
+ 2𝑄
、
− 2𝑄及 + 𝑄，其所在
位置，如下圖(二)所示。試問
圖(二)
(a) 此四個點電荷在 P 點所造成的電位
𝑉
𝑃
為何?你的答案請以 𝜃
，
𝑟
，
𝑎，𝑄 表示
之，並詳列計算過程。 [
10 分]
(b) 當
𝑟 ≫ 𝑎 時，證明 𝑉
𝑃
可表示為 (請詳列計算過程)
𝑉
𝑃
~
3𝑄
𝜋𝜀
0
𝑎
3
𝑟
4
𝑃
3
(cos 𝜃)。
[
20 分]
提示：
1
√1−2𝑥𝑡+𝑡
2
= 1 + ∑
𝑃
𝑛
(𝑥) 𝑡
𝑛
∞
𝑛=1
，|𝑥| ≤ 1
，其中 𝑃
𝑛
(𝑥) 為第 n 階的
Legendre 多項式。你不須要知道 𝑃
𝑛
(𝑥) 的詳細表示式。
第
6之4頁
【第三題】
魯夫一行人搭乘烏坦探測號，並使用側掃聲納在海底找尋寶物(側掃聲納通
常拖於船後，當其運作時，由底拖音鼓兩舷沿海床平面發射聲波，聲波經物體反
射回之訊號由底拖音鼓本身的接收器接收並透過電纜傳至紀錄器。)，假設該區
海床平整，聲納和海底寶物近似位於水平面上，且該航道附近風平浪靜，海水流
速趨近於零。水下側掃聲納移動速度和船速
u 相同，側掃聲納發出的聲頻固定為
𝑓
0
，由寶物反射回的聲訊(每秒取一次訊號)，其頻率
f 和時間 t 關係如下圖(三)：
圖(三)
已知該區海水聲速為 1500 m/s，試求：
(a) 側掃聲納發出聲頻
𝑓
0
？ [
10 分]
(b) 船隻航行速度 u 的大小為何？ [10 分]
(c) 聲納最接近寶物的距離為多少？ [10 分]
上列答案請記得標註合適單位，否則不予給分。
Frequency f (kHz)
t (s)
第
6之5頁
【第四題】
一個材質均勻，半徑為 R 公尺的透明半球體，由折射率 n = √5的材料製作
而成。今將其平面部分呈水平置於空氣中。假設在半球體與空氣之間介面的反射
光太微弱，可忽略不計，試求解以下情況：
(a) 如下圖(四)，有一束恰好涵蓋半球體水平截面積的平行光，由下方鉛直向上
入射，試求半球面上透光的面積為多少平方公尺？ [10 分]
圖(四)
(b) 如下圖(五)，若有另一束恰好涵蓋半球體水平截面積的平行光，改由上方鉛
直向下入射，試求半球體下方平面透光的面積為多少平方公尺？ [20 分]
圖(五)
第
6之6頁
【第五題】
考慮一個利用密閉氣體腔室做為推進系統的簡單模型：一絕熱腔室體積為
0
V
內存有單原子理想氣體，左側有熱源持續提供能量給氣體，其右側則有無摩擦的
活塞
(質量為 M ，截面積為 A ，厚度為 D ，熱傳導係數為
) 以兩條相同的彈
簧連接
(彈力常數為
k
)，如圖(六)。最初此腔室壓力與溫度皆與外界相同，分別
為
0
P
與
0
T
，並且彈簧在原長狀態。活塞右側有一待推動物體，其質量為
m
。當
熱源開始提供能量，此腔室內氣體溫度瞬間增加為原來
n
倍，並且之後一直維持
等溫，則暴增的壓力將推動活塞與物體向右移動，如圖
(七)。當推動的距離為 L 時
，所花的時間恰好為
0
t
，且質量為
m
的物體之速度大小恰為
v
，則：
(a) 在
0
t
這段時間內，左側熱源一共提供多少能量？ [15 分]
(b) 離開腔室瞬間質量為
m
的物體的加速度大小為多少？ [15 分]
圖(六) 圖(七)
第10之1頁
教育部 112 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（一）參考解
【第一題參考解】
參考下圖，
第10之2頁
垂直發射也是類似的分析手法，如下圖所示，
(1)
(2)
(a)
(b)
因為火箭一開始靜止，
υ
0
= 0，Eq.(1) 變成
第10之3頁
將 T 代入上式，得燃料耗盡時的速度大小為
(3)
(c) from eq.(2)，
第10之4頁
(d)
(4)
第10之5頁
【第二題參考解】
(a)
𝑉
𝑝
=
1
4𝜋𝜀
0
(−
𝑄
𝑟
1
+
2𝑄
𝑟
2
−
2𝑄
𝑟
3
+
𝑄
𝑟
4
)
，其中
𝑟
1
= √𝑟
2
+ 4𝑎
2
+ 4𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟
2
= √𝑟
2
+ 𝑎
2
+ 2𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟
3
= √𝑟
2
+ 𝑎
2
− 2𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
𝑟
4
= √𝑟
2
+ 4𝑎
2
− 4𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑠 𝜃
(b) 當𝑟 ≫ 𝑎
, 可得到
1
𝑟
1
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (− 2𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
−2𝑎
𝑟 )
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
−2𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
1
𝑟
2
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (−
𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
−𝑎
𝑟 )
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
−𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
1
𝑟
3
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (
𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
𝑎
𝑟)
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
1
𝑟
4
=
1
𝑟
1
√1 − 2 (2𝑎
𝑟
𝑐𝑜𝑠 𝜃) + (
2𝑎
𝑟 )
2
=
1
𝑟
(1 + ∑ 𝑃
𝑛
(𝑐𝑜𝑠 𝜃) (
2𝑎
𝑟
)
𝑛
∞
𝑛=1
)
利用這些公式，我們可得到
𝑉
𝑝
~
3𝑄
𝜋𝜀
0
𝑎
3
𝑟
4
𝑃
3
(𝑐𝑜𝑠 𝜃)
第10之6頁
【第三題參考解】
(a) 由因相對運動造成的都普勒頻移：
𝑓 =
u+v cos(θ)
u−v cos(θ)
𝑓
0
此式中
cos(θ) 是水下聲
納運動速度和聲納到寶物位置所構成的向量兩者間的夾角(如下示意圖)，由
遠處接近時，θ 趨近於零，因此 cos(θ) → 1 ；最接近點為 θ = π / 2 ; 遠離
寶物時 θ 趨近於 π ，於此時 cos(θ) → −1 。由此觀念可知所測頻率和時間
關係圖中 𝑓 的中間值即為聲源所發出之頻率，故由圖可知
𝑓
0
= 500𝑘𝐻𝑧
。
v θ
(b) 由所測頻率和時間關係圖中的最大和最小頻率外推可知在
θ趨近於零與θ趨
近於
π 時的頻率比滿足
𝑓
𝑚𝑎𝑥
𝑓
𝑚𝑖𝑛
= (
u+v
u−v
)
2
帶入
𝑓
𝑚𝑎𝑥
= 506.5 (507) 及𝑓
𝑚𝑖𝑛
= 493.5 (493)，u = 1500 可求出
v = 9.75
(10.5) (m/s)
(較大 v 值約 214000 需捨去，因大於聲速會有其他現象)
(c) 由所測頻率和時間關係圖中的中間值到下一秒的資料求出距離：利用下
Δt
秒時：
cos(θ) =
−uΔt
√(uΔt)
2
+𝑑
2
帶入
𝑓 =
u+v cos(θ)
u−v cos(θ)
𝑓
0
= 499.4 =
1500−9.75
9.75
√(9.75)2+𝑑2
1500+9.75
9.75
√(9.75)2+𝑑2
500
可求出 d=105.1 或 -105.1。故最短距離為
105.1 m
。
(附註：根據不同採樣，(b)和(c)會有些許偏差，數值解(b)～10，(c)～100 均
可)
第10之7頁
【第四題參考解】
(a)
當入射角𝜃
𝑖
> 𝜃
𝑐
= sin
−1
(
1
𝑛
) = sin
−1
(
1
√5
)，光線於半球面全反射，無法透光。
當入射角𝜃
𝑖
= 𝜃
𝑐
= sin
−1
(
1
𝑛
) = sin
−1
(
1
√5
)時，𝑟 = 𝑅 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐
=
𝑅
√5
，
則半球面透光面積= 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅
2
∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐
) = 2𝜋 𝑅
2
∙ (1 −
2
√5
)
=
10 − 4√5
5
𝜋 𝑅
2
(𝑚
2
)
(b)
光 線 第 二 次 折 射 發 生 於 半 球 體 下 方 平 面 ， 此 時 當 入 射 角 𝜃
𝑖2
> 𝜃
𝑐
=
sin
−1
(
1
𝑛
) = sin
−1
(
1
√5
)，光線會在半球體下方平面全反射，無法透光。
第10之8頁
當入射角𝜃
𝑖2
= 𝜃
𝑐
= sin
−1
(
1
𝑛
) = sin
−1
(
1
√5
)時，𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑖2
=
1
√5
，𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑖2
=
2
√5
。
第一次折射時，1∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑖1
= 𝑛 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
；又因為 𝜃
𝑖1
= 𝜃
𝑡
+ 𝜃
𝑖2
，則
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑖1
= √5 ∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
= sin(𝜃
𝑡
+ 𝜃
𝑖2
) = 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑖2
+ 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑡
∙ 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑖2
=
2
√5
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
+
1
√5
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑡
，(√5 −
2
√5
)
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
=
1
√5
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑡
，則 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡
=
1
3
。
再利用正弦定理求 𝑟:
𝑟
𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
=
𝑅
sin (90°+𝜃
𝑖2
)
=
𝑅
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑖2
，
則 𝑟 = 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑡
∙
𝑅
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑖2
=
1
√10
∙
√5
2
∙ 𝑅 =
𝑅
2√2
。
因此半球體下方平面透光的面積為 𝜋 ∙ 𝑟
2
=
𝜋𝑅
2
8
(𝑚
2
)。
第10之9頁
【第五題參考解】
(a) 熱源供給的能量一共做為幾種用途：氣體本身動能增加，彈力位能增加，物
體加速後動能增加，熱傳導透過活塞傳遞出去
氣體動能增加 (利用溫度變成 n 倍表示動能為未加熱前 n 倍)
0
0
0
0
2
3
2
3
2
3
V
P
V
P
n
T
nR
K
−
=
=
彈力位能增加
2
2
1
2
kL
U
=
物體動能增加
2
)
(
2
1
v
m
M
K
+
=
熱傳導的熱量總和
0
0
0
)
(
t
D
T
nT
A
H
−
=
本題有兩種寫法可以作為答案，
氣體膨脹對外作功變成活塞與物體的動能增加與彈力位能增加量，
<方法一>
考慮整個系統而言，則氣體膨脹作功可視為單純將氣體能量轉變為活塞物體
與彈簧的能量，故其答案應為
AL
P
t
T
D
n
A
v
m
M
kL
V
P
n
H
0
0
0
2
2
0
0
)
1
(
)
(
2
1
2
3
)
1
(
+
−
+
+
+
+
−
=
物體本身動能和彈力位能來自內部氣體作正功與外界大氣作負功 (所以用動
能和位能扣掉外界作的負功以後剩下就是氣體對外作功)
<方法二>
單純考慮氣體本身，則氣體吸收熱量後應遵守熱力學第一定律，並且附帶以
熱傳導傳遞熱量
假設活塞移動距離為 x
0
0
0
0
0
0
1
nP
Ax
V
V
P
Ax
V
V
nP
P
V
P
nRT
PV
+
=
+
=
=
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
V
AL
V
n
V
nP
Ax
V
n
V
nP
dx
A
nP
Ax
V
V
PdV
W
L
+
=
+
=
+
=
=
氣體膨脹作功
故
0
0
0
0
0
0
0
0
)
1
(
)
(
2
3
)
1
(
t
T
D
n
A
V
AL
V
n
V
nP
V
P
n
H
−
+
+
+
−
=
第10之10頁
(b) 離開腔室時，腔室內氣體遵守
nRT
PV =
V
T
P
0
0
0
0
0
'
T
nT
L
A
V
V
P
P
+
=
0
0
0
0
0
'
P
T
nT
L
A
V
V
P
+
=
加速度以
ma
F =
計算，
a
m
M
F
F
F
)
(
+
=
−
−
彈簧
外界大氣
氣體
a
m
M
kL
A
P
A
P
)
(
2
'
0
+
=
−
−
m
M
kL
A
P
A
P
AL
V
nV
a
+
−
−
+
=
2
0
0
0
0
第
8之1頁
教育部
112 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（二）
編號：
01 .
說明：（
1）請先核對答案卷上之編號和你的編號是否一致。
（
2）本試題卷共五大題，請依題號在答案卷上指定位置作答，
試題卷需隨答案卷繳回。
【第一題】
接力賽跑是田徑競賽中的團體項目，以
4×100 公尺(m)接力賽跑為例，由四
位隊員接力跑
400 公尺比賽，接力區包含 10 公尺預跑區(斜線區)和 20 公尺接力
區
(灰色區)（如圖(一)所示）
。已知第
k 位跑者的速度與時間的關係可以用圖(二)
來表示，此跑者於
t
i,k
時間內以等加速度到最快速度
V
m
,k
，之後維持均速到
t
f
,k
時
交棒，交棒後立即減速。回答以下問題：
圖(一)
(a) 第一棒跑者於起點起跑，V
m,1
= 11.0 m/s，t
i,1
= 3.5 s，跑到 B 點交棒 (跑了
110 m )，第一棒交棒前總共跑了 s。 [6 分]
(b) 第二棒於 A 點起跑，跑到 B 點接棒時到達 V
m,2
= 10.9 m/s，所以第二棒必須
於第一棒跑了約
m 時就要起跑。 [6 分]
(c) 第三棒 V
m,3
=11.2 m/s，t
i,3
=4s，於 C 點起跑，D 點接棒，F 點交棒，第三棒
交棒前總共跑了約
s。 [6 分]
(d) 第四棒 V
m,4
= 11.4 m/s，t
i,4
= 5 s，於 E 點起跑。到終點時，團隊 400 公尺一
共用了
s。 [6 分]
(e) 與(c)小題比較，若考慮不同接棒策略，第三棒於 G 點交棒，對整體成績較好
還是較差？
[6 分]
圖(二)
第
8之2頁
【第二題】
第一部分
已知在地球表面附近，每增高 1 公尺，電位會增加 100 伏特。假設地球是一
個導體，真空中介電常數𝜀
0
=8.854×10
-12
F/m，試求：
(a) 地球表面的電荷面密度。 [7 分]
(b) 地球表面所帶的面電荷每平方公尺所受的靜電力大小及方向。 [7 分]
第二部分
今用一細玻璃管吹肥皂泡，假設肥皂泡為半徑 R 的球形，忽略重力及細玻璃
管因素。肥皂泡會因為表面張力收縮，因此肥皂泡內壓力必須比肥皂泡外的壓力
高，才能撐起肥皂泡。楊-拉普拉斯方程可描述如下：任兩異質介面呈球面狀，
則有
2
.
p
p
R
−
=
凹面
凸面
其中
p
凹面
為凹面壓力，
p
凸面
為凸面壓力，
γ 為表面張力係數，R 為曲面的曲率半
徑，如圖(三)所示。
(注意：肥皂泡有兩個介面)。
如果停止吹氣，讓肥皂泡帶電 Q。假設肥皂泡為導體，並讓玻璃管直通大氣，
肥皂泡內外壓力相同。此時，電荷壓力會與表面張力達到平衡，如圖(四)所示。
圖(三) 圖(四)
(c) 試求肥皂泡半徑 R 與電量 Q 之關係。 [8 分]
(d) 當電場超過 E
m
時，將會使空氣成為導體，因而放電。在此條件下，試求肥皂
泡半徑
R 受 E
m
的限制條件。 [
8 分]
第
8之3頁
【第三題】
根據惠更斯原理，水波在行進時抵達的每一個點，都成為一個新的點波源。
這些點波源再產生波，形成許多不同的路徑，如圖(五)所示。而這些不同路徑的
波會互相干涉，便產生了水波的繞射、反射、折射等各種現象。
圖(五)
(a) 若在原點
O
處有一點波源，在某時刻於離原點
O
距離
R
處形成一圈波前，
如圖(六)所示。
圖(六)
這一圈波前上的每個點 (𝑥, 𝑦)： 𝑥 = 𝑅 cos 𝜃
𝑦 = 𝑅 sin 𝜃
都會成為點波源，並產生波往所有方向傳播。請計算從點波源(𝑥, 𝑦)到(2𝑅, 0)
這一點，波走的路徑長稱為波程，並定性畫出波程𝑑(𝜃)的函數圖（縱軸為波
程
d
，橫軸為角度
），在圖上標示出極大值與極小值發生的角度。
假設
R
遠大於波長，請由波程𝑑(𝜃)曲線圖，回答以下問題：
在(2𝑅, 0)這一點，由𝜃在0、𝜋/2、𝜋附近(±𝛿𝜃，𝛿𝜃 ≪ 1)的點波源發出的水波，
分別會產生建設性干涉或破壞性干涉？
[
9 分]
第
8之4頁
(b) 若有兩個點波源位於
(0, Δ/2)與(0, −Δ/2)如圖(七)所示，兩個點波源發出
的水波會互相干涉。請問，
圖(七)
(i) 在距離兩個點波源
R
處(R ≫ Δ)，哪些𝜃角，會產生建設性干涉？
(ii)在哪些𝜃角，會產生破壞性干涉？
[
6 分]
(c) 若有許多點波源排成一直線如圖(八)所示，即為一平面波。在某時刻於離波
前Δ處形成一波前。這一直線的波前上每個點都會產生波，往所有方向傳播。
在𝑥 = 2 Δ處，請計算從點波源(Δ, 𝑦)到(2Δ, 0)這一點，波走的路徑長，並
定性畫出波程𝑑(𝑦)的函數圖（縱軸為波程𝑑，橫軸為波源𝑦座標），在圖上標
示出極大值與極小值發生的角度。
圖(八)
假設Δ遠大於波長，請回答以下問題：在𝑥 = 2 Δ處，
(i)
由𝑦 = 0 ± 𝛿𝑦(𝛿𝑦 ≪ 1)之間的點波源發出的水波，會產生建設性干涉
或破壞性干涉？
(ii) 由𝑦 → +∞附近的點波源發出的水波，會產生建設性干涉或破壞性干
涉？
(iii) 從(i)與(ii)的結果中，建設性干涉的路徑或破壞性干涉的路徑，何
者對應到路徑長𝑑(𝑦)的極小值？
[
9 分]
第
8之5頁
(d) 在水槽中
𝑦 = 0處有一深度落差造成的介面，使水波遇到此介面時會被散射。
如圖(九)所示，在點(−∆/2, ℎ)有一點波源發出水波，請計算波直線前進到介
面上(𝑥, 0)處，散射到點(∆/2, ℎ)的波程為𝑑，並定性畫出波程𝑑(𝑥)的函數圖（縱
軸為波程𝑑，橫軸為波與介面撞擊處𝑥座標），在圖上標示出極大值與極小值
發生的角度。
圖(九)
回答以下問題：在點(∆/2, ℎ)處，
(i) 波撞擊到介面(0,0)附近的點波源發出的水波，會產生建設性干涉或破壞
性干涉？
(ii)波走的路徑長𝑑(𝑥)的極小值發生在𝑥 =? （不需使用微積分即可求得極
值）
[
6 分]
第
8之6頁
【第四題】
波在不同介質中的反射、透射是波動特性的重要特徵，在日常生活中都可以
看到相關的物理現象。例如我們考慮輕繩與重繩連接時會發生的介質變化，波沿
著繩子傳播並遇到介質變化時，就會發生反射。在下圖(十)中，我們看到一條輕
質
(密度較小)繩子(細線)連接在一條較重質(密度較大)的繩子（粗線）上，有一個
脈衝波沿著繩子從左到右傳播。當遇到障礙物（繩索密度的變化）時，部分波會
移動到新介質中，部分波反射回原介質。
(a) 請繪出下圖(十)可能的反射波與透射波： [4 分]
圖(十)
而當光經過不同介質後發生反射光再形成干涉的物理現象，也可以被應用於
光學產品的設計當中。如下圖(十一)所示，而
n
i
、
n
c
、
n
s
分別對應不同層介質的
折射率，
θ
i
為入射光與法線的夾角，
θ
c
為折射光與法線的夾角，
L 為中間層介質
的厚度。
圖(十一)
第
8之7頁
(b) 當你觀察肥皂泡時，肥皂泡可以被認為是夾在兩層空氣層之間的薄膜，它的
表面似乎會根據你觀察的角度逐漸改變顏色，這種現象稱為虹彩
(iridescence)。若肥皂泡的折射率 n
c
=1.33 而厚度 L 是 1.1 μm，請問當我們從
肥皂泡正上方觀察時
(θ
i
=0)，在可見光範圍的區間中，可以觀察到產生最大
反射值的波長可以為何
? [8 分]
(c) 而氟化鎂(MgF
2
)是一種低折射率(n
c
= 1.38)的光學薄膜材料，主要用於高階
鏡片等產品。若我們將
MgF
2
薄膜覆蓋在一塊玻璃
(n
s
= 1.52)上，當從空氣中
正向觀察時
(θ
i
=0)，若希望對於波長為 500 nm 和 625 nm 的光，都能夠觀
察到明亮的反射，請問發生這種情況的薄膜厚度
L 最薄是多少？ [8 分]
(d) 若我們考慮非正向觀察的情況(θ
i
≠0)，若波長為 λ 的光從折射率 n
i
的介質入
射，且
n
i
c s ，請計算在與光線垂直的觀察平面 p 所觀察到的這兩道反射 光的相位差是多少？ [10 分]
第
8之8頁
【第五題】
第一部分
今有一水平放置的圓柱形容器由完美隔熱材質組成，中間有一與器壁光滑無
摩擦的絕熱隔板將容器內空間一分為二。剛開始時，隔板兩側容器內充填相同之
理想氣體，其壓力，體積，與溫度均分別是 𝑃
0
，𝑉
0
，𝑇
0
，如下圖(十二)所示。
圖(十二)
若此氣體在體積固定下的莫爾比熱為 𝐶
𝑉
，在壓力固定下的莫爾比熱為 𝐶
𝑃
，
定義 𝛾 =
𝐶
𝑃
𝐶
𝑉
⁄
。
(a) 對於由單原子分子組成的理想氣體，其
𝛾 值的大小為何？ [6 分]
第二部分
今在容器內右側有一極微小的加熱裝置(體積可忽略不計)，緩慢加熱右側容
器內之氣體直到其壓力變成 𝛼𝑃
0
(𝛼 > 1)，如下圖(十三)所示。已知當理想氣體
進行絕熱過程時，描述其狀態的壓力 𝑃 與體積 𝑉 之間滿足的關係式為 𝑃𝑉
𝛾
= 𝐶，
𝐶為常數。請將以下問題之答案以 𝑃
0
，
𝑇
0
，
𝑉
0
，
𝛼
，
𝛾 表示。
圖(十三)
(b) 左邊容器的體積； [6 分]
(c) 右側容器內氣體的溫度； [6 分]
(d) 對左側容器內氣體所做的功； [6 分]
(e) 右側加熱裝置輸入系統的總能量。 [6 分]
𝑃
0
，𝑉
0
，𝑇
0
𝑃
0
，𝑉
0
，𝑇
0
𝛼𝑃
0
，𝑉
𝑅
，𝑇
𝑅
𝑃
𝐿
，𝑉
𝐿
，𝑇
𝐿
第9之1頁
教育部 112 學年度高級中學數理及資訊學科能力競賽物理科決賽
筆試試題（二）參考解
【第一題參考解】
(a) 第一棒跑了 110 m
第一棒用了 11.75 sec
(b) 第一棒跑了 110-50= 60 m，耗時 60 (m )/11 (m/s)~5.5 s
第二棒跑了 30 m, 加速度為
第二棒之
(c) 第三棒 V
m,3
= 11.2 m/s, t
i,3
= 4 s, 接棒前已跑 20 m，
第三棒跑者接棒時速度為 V
3,1
，接棒前已跑 3.7 sec，接棒後跑了
100 -10 = 90 m, 但接棒時仍未到達 V
m,3
，
接棒後跑了 3.23 m 到達 V
m,3
, 用了
剩下跑程用 V
m
速度完成
,3
2
2
3,1
3,1
,3
,3
2
3,1
3
,3
2
3,1
3 3,1
1
1
11.2
20
2
2
4
3.7 sec
2.8 m/s
2.8 m/s ) 3.7(s)
10.36 m/s
m
i
m
i
V
t
t
t
V
t
a
t
V
a t
=
=
=
=
=
=
=
=
，
(
( )
2
2
,2
2
2
(10.9)
2
(30 m)
1.98 m/s
m
V
a
a
=
=
=
,2
,2
2
10.9
/
5.51 s
1.98
i
m
t
V
a
=
=
=
2
2
2
2
,3
3,1
3
3,1
1
3,1
2
(11.2)
(10.36)
2 2.8
3.23 m
m
V
V
a S
S
S
=
+
=
+
=
3,2
90 3.23
7.7 s
11.2
t
−
=
=
1
3,1
11.2 10.36
0.3 s
2.8
m
V
V
t
a
−
−
=
=
=
,1
1
,1
1
110
3.5 (
3.5)
2
11.75 sec
m
m
V
t
V
t
=
+
−
=
第9之2頁
第三棒跑者一共跑了
第二棒用了
第三棒用了
(d) 第四棒 V
m,4
= 11.4 m/s, t
i,4
= 5 s, 接棒前已跑 10 m，
接棒時速度
到達 V
m,4
時間
於此時間內行進距離
剩下跑程用 V
m,4
速度完成
第四棒用
各棒所用時間
(e) 若第三棒於 G 點交棒，接棒後跑了 100 m 則
第三棒用了
第四棒接棒前已跑 20 m，接棒時速度
到達 V
m,4
時間
3,1
3,2
3,3
3.7
0.3 7.7 =11.7 s
t
t
t
t
=
+
+
=
+ +
+
2
2
4,1
4
4,1
4,1
2
4,1
4
11.4
2
2
10
5
6.75 m/s,
2.28 m/s
V
a S
V
V
a
=
=
=
=
,4
4,1
4,1
4
11.4 6.75
2.04 s
2.28
m
V
V
t
a
−
−
=
=
=
(
) (
)
2
2
2
2
,4
4,1
4,1
4
11.4
6.75
18.5 m
2
2 2.28
m
V
V
S
a
−
−
=
=
=
4,2
110 18.5
8.02 s
11.4
t
−
=
=
4
4,1
4,2
2.04 8.02 10.06 s
t
t
t
=
+
=
+
=
2
90
8.3 s
10.9
t =
=
3
3,2
3,3
0.3 7.7
8.0 s
t
t
t
=
+
=
+
=
1
2
3
4
11.75 8.3 8.0 10.06
38.11 s
t
t
t
t
+ + + =
+
+
+
=
3,2
100 3.23
8.64 s
11.2
t
−
=
=
3
3,2
3,3
0.3 8.64
8.94 s
t
t
t
=
+
=
+
=
2
2
4,2
4
4,2
4,2
4,2
11.4
2
2
20
5
9.55 m/s
V
a S
V
V
=
=
=
第9之3頁
於此時間內行進距離
剩下跑程用 V
m,4
速度完成
第四棒用
各棒所用時間
第三棒於 G 點交棒，耗時較小，是較佳策略。
註記:
目前男子 4 × 100 mR 世界紀錄 38.84 sec，女子 40.82 sec。男子 100 公尺短
跑世界紀錄 9.58 sec，最快瞬時速度可達約 12 m/s。
,4
4,2
4,3
4
11.4 9.55
0.81 s
2.28
m
V
V
t
a
−
−
=
=
=
(
) (
)
2
2
2
2
,4
4,2
4,2
4
11.4
9.55
8.5 m
2
2 2.28
m
V
V
S
a
−
−
=
=
=
4,4
100 8.5
8.03 s
11.4
t
−
=
=
4
4,3
4,4
0.81 8.03
8.84 s
t
t
t
=
+
=
+
=
1
2
3
4
11.75 8.3 8.94 8.84
37.83 s
t
t
t
t
+ + + =
+
+
+
=
第9之4頁
【第二題參考解】
(a) 假設地球是導體，根據高斯定律，得地面附近的電場強度為
0
.
=
E
n
式中 n 是地面法線方向上的單位向量，方向向上。
地面上電荷量的面密度為
(
)
(
)
12
2
10
2
0
0
8.854 10
100 C/m
8.85 10
C/m .
dV
E
dz
−
−
=
= −
= −
−
(b) 地面附近的電場一半來自地表電荷，另一半來自其他部分的綜合結果。
因此地面每平方米所受的靜電力為
(
)
(
)
2
2
12
2
2
8
2
0
0
1
8.854 10
100
N/m
4.4 10
N/m
.
2
2
2
2
E
−
−
=
=
=
=
f
E
n
n
n
n
n 表示方向向上.
(c) 帶電後肥皂泡內外空氣壓力差為
𝑝
𝑎𝑖𝑟,𝑖𝑛
− 𝑝
𝑎𝑖𝑟,𝑜𝑢𝑡
=
4𝛾
𝑅
−
𝜎
2
2𝜀
0
=
4𝛾
𝑅
−
𝑄
2
32𝜋
2
𝜀
0
𝑅
4
.
內外相通時，壓力差為零。因此可得
4𝛾
𝑅
=
𝑄
2
32𝜋
2
𝜀
0
𝑅
4
，或是𝑄 = √128𝜋
2
𝜀
0
𝛾𝑅
3
.
(d) 當肥皂泡表面電場為 E
m
時，肥皂泡的電荷密度為
σ
m
，則有
0
/
m
m
E
=
。
此時肥皂泡的半徑為 R
m
，滿足
4𝛾
𝑅
𝑚
=
𝜎
𝑚
2
2𝜀
0
=
𝜀
0
𝐸
𝑚
2
2
，可得
𝑅
𝑚
=
8𝛾
𝜀
0
𝐸
𝑚
2
。
因為過小的半徑會造成過大的電場。因此，限制為
𝑅 >
8𝛾
𝜀
0
𝐸
𝑚
2
。
當
𝑅 <
8𝛾
𝜀
0
𝐸
𝑚
2
時，就不可能用帶電的方法維持肥皂泡而不使它消失。
第9之5頁
【第三題參考解】
(a)
(b)
(c)
第9之6頁
(d)