112 學年度普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
第 4 區複賽物理科筆試試題參考解
【第一題】
在一盛著水(密度為
𝜌、比熱為𝑠)的容器中，有一細線一端
繫於容器上緣，另一端繫著一金屬球，金屬球被一層冰(密度為
𝜌′、熔化熱為ℎ)所包覆(如右圖)，重力加速度為𝑔。
a.
(5%)一開始細線張力為
𝐹，冰的質量為𝑚、溫度為0℃，經過
一段時間後，因為部分冰溶化成水，細線張力變成
2𝐹，求此時剩餘冰的質
量與
𝑚的比。
b.
(5%)一開始水的質量為
𝑀、溫度為𝑇 ℃，後來細線張力變成2𝐹，求此時的水
溫
。(忽略達到熱平衡所需時間)
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第 4 區複賽物理科筆試試題參考解
【第一題】參考解
a.
假設金屬球質量為
𝑚 、密度為𝜌 ，則依合力為零
𝑚 𝑔
𝑚𝑔
𝐹
𝜌𝑔
，
所以
𝐹
𝑚 𝑔 1
𝑚𝑔
1 ，
當冰溶化成原來的
𝑟倍，細線張力變成2𝐹
2𝐹
𝑚 𝑔 1
𝑟𝑚𝑔
1 。
兩式相減得:
𝐹
1
𝑟 𝑚𝑔
𝜌
𝜌′
1
因此
𝑟
1
𝐹/ 𝑚𝑔
𝜌
𝜌
1
b.
假設後來水溫為
𝑇 ℃，依據能量守恆
𝑀 𝑇
𝑇 𝑠
1
𝑟 𝑚ℎ
1
𝑟 𝑚𝑠 𝑇
0
因此
1
𝑟
𝑀𝑠 𝑇
𝑇 / 𝑚 ℎ
s𝑇
從 a.知
1
𝑟
𝐹/ 𝑚𝑔
𝜌
𝜌
1
所以
𝑀𝑠 𝑇
𝑇
𝑚 ℎ
s𝑇
𝐹
𝑚𝑔
𝜌
𝜌
1
最後解得
𝑇
𝑀𝑔
𝜌
𝜌
1 𝑇
𝐹 ℎ𝑠
𝑀𝑔
𝜌
𝜌
1
𝐹
或 𝑇
𝐹 ℎ𝑠 𝑇
𝑀𝑔
𝜌
𝜌
1
𝐹
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第 4 區複賽物理科筆試試題參考解
【第二題】
在一斜面底部有一物體具有
𝑣的初速朝向斜面頂
端運動(如右圖)。
a.
(5%) 斜面下半部是長度
𝐿的光滑平面，上半部為
粗糙平面，物體在光滑與粗糙平面的加速度分別
為
𝑎(𝑎
0)與 𝑛𝑎 𝑛
1 。假設初速𝑣足夠讓物
體到達的最高點是在上半部的某個位置，求到達最高點所經歷的時間。
b.
(5%) 斜面下半部改為長度
𝐿的粗糙平面，上半部改為光滑平面。不同平面對
應的物體加速度如 a.。同樣假設初速
𝑣足夠讓物體到達的最高點是在上半部
的某個位置，求到達最高點所經歷的時間。
𝑣
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第 4 區複賽物理科筆試試題參考解
【第二題】參考解
a.
假設物體走完
𝐿時所花時間為𝑇，則此時末速𝑣 ：
𝑣
𝑣
𝑎𝑇
0 (1)
且
𝐿
𝑣𝑇
𝑎𝑇 . (2)
假設物體走到最高點所花時間為
𝑡 ，則
0
𝑣
𝑎𝑇
𝑛𝑎 𝑡
𝑇 (3)
所以
𝑇
(4)
將(4)式代入(2)式並化簡得
𝑛 𝑎 𝑡
2𝑛 𝑎𝑡
2𝑛
1 𝑣
2 𝑛
1 𝑎𝐿
0 (5)
所以
𝑡
√
(正不合) (6)
因為如果沒有粗糙平面，達到最高點歷時
𝑣/𝑎，有了粗糙平面，時間會
縮短，因此
𝑡
𝑛𝑣
𝑛
1 √𝑣
2𝑎𝐿
𝑛𝑎
b.
與 a.小題的平面加速度做比較，本小題相當於將 a.小題的
𝑛 → ，然後
𝑎 → 𝑛𝑎，因此𝑡 直接做這兩步驟即可獲得𝑡
𝑛𝑣
𝑛
1 √𝑣
2𝑎𝐿
𝑛𝑎
→
𝑣/𝑛
1/𝑛
1 √𝑣
2𝑎𝐿
𝑎/𝑛
→
𝑣/𝑛
1/𝑛
1 √𝑣
2𝑛𝑎𝐿
𝑎
𝑣
𝑛
1 √𝑣
2𝑛𝑎𝐿
𝑛𝑎
𝑡
或者按照 a.小題的作法也可以，但在解出
𝑡 的兩個解時是負不合，因為
如果沒有光滑平面，達到最高點歷時
𝑣/ 𝑛𝑎 ，有了光滑平面，時間會增
長。
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