110 學年度北一區 (花蓮高中) 

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 

數學科筆試（二）試題 

編號：              

（學生自填）

注意事項： 

1.  本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分為 24 分。 

2.  考試時間：1 小時。 

3.  試題及計算紙必須連同答案卷交回。 

4.  將答案依序填寫在答案欄內。 

1. 

設 A 為坐標平面上滿足

1

x

y

+

≤ 的區域，則定義在 A 上的函數

2

2

( , )

f x y

x

xy

y

=

−

+

之最大值為    (一)    。 

2. 

對每一對實數 ,

x y ，函數 f 都滿足

( )

( )

(

)

1

f x

f y

f x

y

xy

+

=

+ − −

。若 (1) 1

f

= ，

則滿足 ( )

f n

n

= 的整數

n

有    (二)    個。 

3. 

若三角形的三邊互不相等，且兩高長分別為 4,12，又第三高長 h 也為整數，則

h 的最大值為    (三)    。 

4. 

擲一枚不均勻的硬幣，假設正面朝上的機率是

2

3

；如果擲 30 次，出現正面的

總次數是偶數的機率為    (四)    。 

《背面尚有試題》 

5. 

設

, ,

x y z

為三個正實數，其和為 1，且三數中的任何一個數不超過另一個數的

兩倍；則

xyz

的最小值為    (五)    。 

6. 

設動點 P 每一次自正四面體

ABCD

的一個頂點移至另一頂點的機率都是

1

3

。現

在 P 自 A 出發，移動 4 次又回到 A 且恰好經過一次 B 的機率為    (六)    。 

7. 

方程式

11979

xy

x

y

=

+

的正整數解 ( , )

x y 有    (七)    個

。

8. 

若 ,

m n 為整數且

0

mn

≥

，則滿足

3

3

3

93

31

m

n

mn

+

+

=

的整數數對 ( , )

m n 有 

    (八)    組。 

《試題結束》 

110 學年度北一區 (花蓮高中) 

普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽 

數學科筆試（二）解答 

答  案  欄 

(  一  ) 

(  二  ) 

(  三  ) 

(  四  ) 

1

2

5

30

1

1

1

2

3





+









( 五 ) 

(  六  ) 

(  七  ) 

(  八  ) 

1

32

4

27

35

33