109 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（二）試題
編號：
（學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共八題填充題，每題 3 分，滿分為 24 分。
2. 考試時間：1 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將答案依序填寫在答案欄內。
1. 設 ( )
P x 為一實係數多項式。若 (0)
0
P
= 且對任一實數 x ，恆有
2
2
(
1)
( ( ))
1
P x
P x
+ =
+ ，
求此多項式 ( )
P x
= (一) 。
2. 設 :
f
→
為定義在正整數的實數值函數。已知 (1) 2020
f
=
且對所有的正整
數
1
n
>
，恆有
2
(1)
(2)
( )
( )
f
f
f n
n f n
+
+ +
=
，試求 (2020)
f
= (二) 。
3. 已知
tan
x
α
=
，求
tan 4
α
=
(三) 。（將答案表為
x
的分式，且分子與
分母需互質）
4. 自三個數 0,1, 2 中任取一數，假設每一數被取的機率相同，取後放回，共取
9
次。求所取得
9
個數之算術平均數的小數點以下第一位數字為
1
的機率為
(四) 。
5. 設正三角形
ABC
的外接圓半徑為
5
。若
P
為此外接圓上的動點且令
,
,
AP BP CP
的長度分別為
, ,
x y z
，則
xyz
的最大值為 (五) 。
《背面尚有試題》
6. 在坐標平面上，一隻青蛙依照如下的模式跳動：
「當它在
( , )
x y
時，下一步會跳至
1
,
1
x
y
xy
−
−
。」
若青蛙開始位於
2
3,
3
，則青蛙跳 109 步後的坐標為 (六) 。
7. 如下圖，
ABC
∆
中
6
AB
=
，
2 10
BC
=
，
4
AC
=
；
AB
的垂直平分線與 AC 邊
上之高交於
P
點，且
AP
交 BC 於
Q
點。已知
AP AB AC
x
y
=
+
，求數對
(
)
,
x y
為 (七) 。
。
8.
在 1781 年，日本藤田貞資於《精要算法》中提出所謂「蟲蝕算」這種
填字遊戲。顧名思義，蟲蝕算遊戲就是算式標示□處可表示為被蟲損傷
的地方，根據算術或代數推理手段恢復原來的數字使等式成立。下圖是
一道稱為〈一個 8〉的蟲蝕算遊戲：
試問：這道遊戲的最後四個數字為何？
(八) 。
《試題結束》
A
B
C
D
H
Q
P