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110 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科口試試題
編號： （學生自填）
注意事項：
1. 本口試卷共 2題，思考時間 15 分鐘；參賽者可先在空白紙上作答，口試時請
攜帶作答紙應試，口試答辯時間 15 分鐘，並繳回作答紙。
2. 本項測驗著重解題技巧、表達能力與邏輯思維，參賽者不需要太專注於計算的
精確度。
【口試一】
對於正整數
a
，我們稱
( 1)
2
aa
+
為一個三角數。若
n
為一正整數試証明
n
為兩個三角
數之和若且唯若
41n+
為兩個整數平方和。
【口試二】
設
5432
()f x x ax bx cx dx e=+ + + ++
為一個實係數五次多項式。如果
()fx
的五個根
都在單位圓上，請說明這五個根的倒數和等於五個根的和
a−
。
《試題結束》
110 學年度北一區 (花蓮高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科口試解答
【口試一】
對於正整數
a
，我們稱
( 1)
2
aa+
為一個三角數。若
n
為一正整數試証明
n
為兩個三角
數之和若且唯若
41n+
為兩個整數平方和。
【解答】
若𝑛𝑛=𝑎𝑎(𝑎𝑎+1)
2+𝑏𝑏(𝑏𝑏+1)
2，則4𝑛𝑛+ 1 = 2𝑎𝑎2+ 2𝑎𝑎+ 2𝑏𝑏2+ 2𝑏𝑏+ 1
=(𝑎𝑎+𝑏𝑏+ 1)2+(𝑎𝑎−𝑏𝑏)2
反之，若4𝑛𝑛+ 1 = 𝑥𝑥2+𝑦𝑦2, 𝑥𝑥,𝑦𝑦∈ℕ.
則𝑥𝑥,𝑦𝑦必然是一個奇數，一個偶數，不妨假設𝑥𝑥>𝑦𝑦。
令𝑎𝑎=𝑥𝑥+𝑦𝑦−1
2, 𝑏𝑏=𝑥𝑥−𝑦𝑦−1
2
則𝑎𝑎(𝑎𝑎+1)
2+𝑏𝑏(𝑏𝑏+1)
2=�𝑥𝑥+𝑦𝑦−1
2��𝑥𝑥+𝑦𝑦+1
2�
2+�𝑥𝑥−𝑦𝑦−1
2��𝑥𝑥−𝑦𝑦+1
2�
2
=(𝑥𝑥+𝑦𝑦)2−1
8+(𝑥𝑥−𝑦𝑦)2−1
8
=𝑥𝑥2+𝑦𝑦2−1
4=𝑛𝑛.
【口試二】
設
5432
()f x x ax bx cx dx e
=+ + + ++
為一個實係數五次多項式。如果
()fx
的五個根
都在單位圓上，請說明這五個根的倒數和等於五個根的和
a−
。
【解答】
設五個根為cos 𝜃𝜃𝑗𝑗+𝑖𝑖sin 𝜃𝜃𝑗𝑗, 𝑗𝑗= 1,2,3,4,5
則∑cos 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 +𝑖𝑖∑sin 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 =−𝑎𝑎
⟹∑cos 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 =−𝑎𝑎, ⇒∑sin 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 = 0
Now, ∑1
cos𝜃𝜃𝑗𝑗+𝑖𝑖sin𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 =∑�cos 𝜃𝜃𝑗𝑗−𝑖𝑖sin 𝜃𝜃𝑗𝑗�
5
𝑗𝑗=1
=�cos 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 −𝑖𝑖�sin 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 =�cos 𝜃𝜃𝑗𝑗
5
𝑗𝑗=1 =−𝑎𝑎.