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110 學年度臺北市 (陽明高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）試題
編 號： （學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共四題計算證明題，滿分 49 分。
2. 考試時間：2小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷繳回。
4. 將作答過程填寫在答案卷內。
【問題一】設數列
12345678
,,,,,,,aaaaaaaa
的每一項都是正數，且同時滿
足以下八個等式：
182
11
aaa
= +
2 13
a aa= +
324
11
aaa
= +
4 35
aaa= +
546
11
aaa
= +
6 57
aaa= +
768
11
aaa
= +
8 71
aaa= +
(1) 試比較
2468
,,,
aaaa
四數的大小關係。 (6 分)
(2) 試找出所有可能的數列
12345678
,,,,,,,aaaaaaaa
。 (6 分)
【問題二】設正整數
m
及質數
p
滿足
22
16 (51 2 ) (51 2 )p mm m−= +
。
(1) 試說明
m
必為
4
的倍數。 (4 分)
(2) 試找出所有可能的數對
(,)mp
。 (8 分)
<背面尚有試題>
2
【問題三】 如圖，ABCD 是邊長為 6的正方形，其內切圓
O
分別切
AB
、
AD
於
,UV
兩點，且
PQ
與圓
O
相切，其中點
P
在
AU
上，點
Q
在
AV
上。
試證：
CPQ∆
的面積為定值，並求此定值。 (12 分)
【問題四】設正整數
3
nk≥≥
。對
{ }
1, 2, 3, ,Xn
=
中恰含
k
個元素的子
集
A
，令
()
fA
表示
A
中
3
個連續整數組
( , 1, 2)ii i++
的組
數；例如：
對
9n=
及
7
k=
，在
{ }
1,2,3,5,6,7,8A=
中，出現
3
個連續整數
的組數恰有
3
組：
(1,2,3),(5,6,7),(6,7,8)
，此時
() 3fA=
。
設
X
中所有
k
個元素的子集
A
之
()
fA
值的總和以
()
n
Sk
表
示。
(1) 對
9n=
及
4k=
，試求
9
(4)S
之值。 (5 分)
(2) 對任意正整數
3nk≥≥
，試求
()
n
Sk
的一般式。 (8 分)
<試題結束>
3
110 學年度臺北市 (陽明高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（一）解答
【問題一】設數列
12345678
,,,,,,,aaaaaaaa
的每一項都是正數，且同時滿
足以下八個等式：
182
11
aaa
= +
2 13
a aa= +
324
11
aaa
= +
4 35
aaa= +
546
11
aaa
= +
6 57
aaa= +
768
11
aaa
= +
8 71
aaa= +
(1) 試比較
2468
,,,
aaaa
四數的大小關係。 (6 分)
(2) 試找出所有可能的數列
12345678
,,,,,,,aaaaaaaa
。 (6 分)
【解】(1) 欲證
2468
,,,
aaaa
四數相等。
假設
24
aa≠
，依對稱性可設
24
aa
<
，即
13 35
aaaa+<+
，故
15
aa
<
。
又
24
11
aa
>
且
15
82 46
11 11
aa
aa aa
+ =<= +
，可得
86
11
aa
<
，即
68
aa<
。
由此得知
57 6 8 71
aaaaaa+=<=+
，即
51
aa<
，矛盾！故
24
aa=
。
同理，
46
aa
=
且
68
aa
=
，所以，
2468
aaaa= = =
。
(2)令
2468
0
aaaak= = = = >
，則
1357
2
aaaak
= = = =
；因此，可得
2 13
4
ka aak
= =+=
。
解得
2k=
，故滿足條件的數列只有一種，即
(1, 2,1, 2,1, 2,1, 2)
。
【另解】由所給的
2n
個方程式（本題為
4n=
的特例），可得：
4 35 2446 246
1111121
aaa aaaaaaa
=+=+++=++
6 57 4668 468
1111121
aaa aaaaaaa
=+=+++=++
4
2 21 1 222222222
1 1 11 1 21
nn nnn nn
aa a
a aaaa aa
−
−−
=+= +++= ++
若記
22 2n
aa
+=
，則
222 2 22
121
kk kk
aa aa
−+
= ++
,
∀
1, 2, 3, ,kn
=
。
設
2
1
min
k
kn
ma
≤≤
=
，
2
1
max
k
kn
Ma
≤≤
=
，並設當
ki=
時，
2i
am=
，且當
kj=
時，
2j
aM
=
，則
22 22
2 1 1 21122
ii
mma a mMM mM
−+
=+ + ≥+ + =+
，
22 22
2 1 1 211 22
jj
MMa a MmmMm
−+
= + + ≤ ++= +
。
由此可得
mM≥
，因此，對所有的
1, 2, 3, ,kn
=
，2k
a
均相等。
令
2k
aa
=
，
∀
1, 2, ,kn
=
，則
2114
aaaaa
=++=
。因為
0a>
，所
以，
2a=
，即
22
k
a=
，
∀
1, 2, ,
kn=
，因而
21 11
1
22
k
a−=+=
，
∀
1, 2, ,kn=
。
【問題二】設正整數
m
及質數
p
滿足
22
16 (51 2 ) (51 2 )p mm m−= +
。
(1) 試說明
m
必為
4
的倍數。 (4 分)
(2) 試找出所有可能的數對
(,)mp
。 (8 分)
【解】(1) 因為
16
是
2(51 2 )
mm+
的因數，且
16
與
51 2m+
互質，故
16
是
2
m
的
因數。因此，
m
必為
4
的倍數。
(2) 由(1)可令
4mk=
，原式可化為
2
251 8 1
51 8
pk
kk
+
= >
−
，得知
1kp≤<
。又
p
為
質數，可知
p
與
k
互質。令
d
為
51 8k−
與
51 8k
+
的最大公因數，則
2
2
51 8
51 8
k dk
k dp
−=
+=
。因此，
22
16 ( )k dp k= −
。……………………………(*)
若
2p=
，則
1k=
，此時，
16 3d=
，不合。
若
2p>
，則由(*)式得知
2
k dp
；又
p
與
k
互質，得到
kd
。
可設
dk
=
，代入(*)式並化簡，得
16 ( )( )pkpk=+−
。因此，
4,8,16
pk+=
。
(i)當
4pk+=
時，
3, 1, 2, 2pk d= = = =
，矛盾(與
2
51 8k k dp+=
不合)。
(ii)當
8pk+=
時，
5, 3pk= =
（合），或
7, 1pk= =
(與
2
51 8k k dp+=
不
合)。此情況下，
1, 3
d= =
，而
4 12mk= =
。
5
(iii)當
16
pk
+=
時，
1pk−=
，得
17
2
p=
(不合)。
因此，僅有唯一的一組解，即數對
( , ) (12,5)
mp=
。
【問題三】 如圖，ABCD 是邊長為 6的正方形，其內切圓
O
分別切
AB
、
AD
於
,UV
兩點，且
PQ
與圓
O
相切，其中點
P
在
AU
上，點
Q
在
AV
上。
試證：
CPQ∆
的面積為定值，並求此定值。 (12 分)
【解】 設圓 O分別切
DC
、
CB
於W、X兩點。顯然，圓
O
的半徑為 3，且
=3AU AV BU BX DV DX CX CW= = = = = = =
，
令
PT PU p= =
、
QT QV q
= =
。由此可知
11
(3 )(3 )
22
APQ AP AQ p q∆ =⋅⋅ = − −
,
11
(3 ) 6
22
BCP BP BC p∆ = ⋅ ⋅ = ⋅+ ⋅
,
11
(3 ) 6
22
CDQ DQ CD q∆ =⋅⋅=⋅+⋅
。
由此可得
1
36 (9 3 3 18 6 18 6 )
2
11
36 (45 3 3 ) (27 3 3 ).
22
CPQ ABCD APQ BCP CDQ
p q pq p q
p q pq p q pq
∆ = −∆ −∆ −∆
=− − −+ ++ ++
=− +++ = −−−
利用畢氏定理，
222
PQ AP AQ= +
，即
2 22
( ) (3 ) (3 )
pq p q+ =− +−
，化簡可
得到
33 9p q pq++ =
。亦可設
TOP UOP x∠=∠ =
，
TOQ VOQ y∠=∠=
，
則可推得
22 2
UOV x y π
∠ =+=
，所以，
4
xy π
+=
；因此，
tan tan 3( )
33
1 tan( ) 1 tan tan 9
133
pq
x y pq
xy pq
x y pq
+
++
= += = =
−−
−
，
W
V
P
Q
O
X
U
A
B
D
C
T
6
即
33 9p q pq++ =
。故
11
(27 3 3 ) (27 9) 9
22
CPQ p q pq
∆ = − −− = −=
。
【問題四】設正整數
3nk≥≥
。對
{ }
1, 2, 3, ,Xn=
中恰含
k
個元素的子集
A
，令
()
fA
表示
A
中
3
個連續整數組
( , 1, 2)ii i++
的組數；例如：
對
9n=
及
7k=
，在
{ }
1,2,3,5,6,7,8A=
中，出現
3
個連續整數的
組數恰有
3
組：
(1,2,3),(5,6,7),(6,7,8)
，此時
() 3fA=
。設
X
中
所有
k
個元素的子集
A
之
()fA
值的總和以
()
n
Sk
表示。
(1) 對
9n=
及
4k=
，試求
9
(4)S
之值。 (5 分)
(2) 對任意正整數
3nk≥≥
，試求
()
n
Sk
的一般式。 (8 分)
【解】 (1)
A
中含
3
個連續整數組的情況僅有以下兩類：
(a) 恰含 1組連續
3
整數的子集
A
：共
5 2 4 5 30×+×=
種。
{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,7},{1,2,3,8},{1,2,3,9}
{2,3,4,6},{2,3,4,7},{2,3,4,8},{2,3,4,9}
{3,4,5,1},{3,4,5,7},{3,4,5,8},{3,4,5,9}
{4,5,6,1},{4,5,6,2},{4,5,6,8},{4,5,6,9}
{5,6,7,1},{5,6,7,2},{5,6,7,3},{5,6,7,9}
{6,7,8,1},{6,7,8,2},{6,7,8,3},{6,7,8,4}
{7,8,9,1},{7,8,9,2},{7,8,9,3},{7,8,9,4},{7,8,9,5}
(b) 恰含 2組連續
3
整數的子集
A
：共
6
種。
{1,2,3,4},{2,3,4,5},{3,4,5,6},{4,5,6,7},{5,6,7,8},{6,7,8,9}
因此，
9
(4) 30 1 6 2 42S= ×+ × =
。
(2) 對
1, 2, 3, , 2in= −
，定義
1, , 1, 2
() 0,
i
ii i A
gA + +∈
=
若
其他
。則可得知：
2
1
() ()
n
i
i
fA gA
−
=
=
∑
，且對每一個
1, 2, 3, , 2in= −
，
3
3
() n
ik
Ak
gA C
−
−
=
=
∑
，這是
因為
A
中除了
, 1, 2ii i++
這三數外，還要從其餘的
3n−
個數選取
3k−
個數。因此，
22 2
33
33
=1 1 1
() () () () ( 2)
nn n
nn
n i ik k
Ak Aki i Ak i
Sk fA gA gA C n C
−− −
−−
−−
= = = = =
= = = = = −
∑ ∑∑ ∑∑ ∑
。