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109 學年度北二區 (新竹高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試 (二)試題
編號： (學生自填)
注意事項：
1. 本試卷共七題填充題，每題 3分，滿分為 21 分。
2. 考試時間：1小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷交回。
4. 將演算結果依序填寫在答案欄內。
問題：
1. 超 過 2020 的 正 整 數 中， 恰 有 14 個正因數的最小數是 (一)。
2. 設正方形ABCD 內接於圓O， 點 P為 圓 O上一點，且AP 交對角線BD 於E
點，BP 交 對 角 線 AC 於F點。 若 DE
EB =1
2， 則 CF
FA 之 值 為 (二)。
3. 現 有 A、B兩個水桶，我們利用以下規則交換兩個水桶的水：我們從A水
桶 取 出 2/3的 水， 從 B水 桶 取 出 全 部 的 水， 並 且 將 這 些 取 出 來 的 水 倒 入
另一個水桶。現在假設A水 桶 裝 水 1公 升，B水 桶 裝 水 2公升，不斷重複
上 述 規 則， 請 問 A,B兩水桶的水量分別會趨近為 (三)。
4. 設O為 原 點，P,Q為 橢 圓 x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)上 的 兩 個 動 點， 且 滿 足
−→
OP ·−→
OQ =0， 求 O到 直 線 PQ 的 距 離 為 (四)。
5. 設x,y為 實 數。 已 知 y2≥1且 滿 足 (√1+x2−x)(y−py2−1) = 1， 試 求
x2−y2=(五)。
6. 設f(x)為次數不超過二次的實係數多項式，且(x2+x+1)f(x)除 以
x3−2x2−x−3的 餘 式 為 1， 則 f(x) = (六)。
7. 某次球賽中有八隊參加，任兩隊比賽一場，勝者得2分， 負 者 得 0分， 平
手 各 得 1分。若某隊總分至少要贏過4個隊，則該隊總分至少要是 (七)
分。