109 學年度臺北市 (陽明高中)
普通型高級中等學校數理及資訊學科能力競賽
數學科筆試（二）試題
編號：
（學生自填）
注意事項：
1. 本試卷共七題填充題，每題 3 分，滿分為 21 分。
2. 考試時間：1 小時。
3. 試題及計算紙必須連同答案卷繳回。
4. 將答案填寫在答案欄內。
1. 若正整數
n
滿足
3
3
3
3
3
3
3
3
(2
1) (3
1) (4
1)
(
1)
401
(2
1) (3
1) (4
1)
(
1)
600
n
n
− ×
− ×
− × ×
−
≥
+ ×
+ ×
+ × ×
+
，則
n
的最大
值為 (一) 。
2. 若
0
2
x
π
< <
，則
(1 cos
) sin
2
4
x
x
y
= +
的最大值為
(二) 。
3. 滿足
2
2
212
2020
(
21
109)
1
x
x
x
x
−
+
−
+
=
的所有實數
x
之總和為 (三) 。
4. 若實數
α
與
β
滿足
3
2
3
2
6
13
2020
3
4
2008
α
α
α
β
β
β
−
+
=
−
+
= −
，則
α β
+ =
(四) 。
<背面尚有試題>
5. 在坐標空間中，兩直線
1
1
2
1
:
6
2
3
x
y
z
L
+
+
−
=
=
與
2
2
:
6
2
3
x
a
y b
z
L
−
−
+
=
=
均
落在平面
3
6
2
x
y
z
c
−
−
=
上，其中
, ,
a b c
均為整數。若直線
1
L
與
2
L
之間
的距離為
3
，則
a b c
+ + =
(五)
。
6. 若正數
k
滿足：
「對於任意的正數
, ,
a b c
，如果
a b c
k
+ + ≤
，就有
abc
k
≤
」，
則滿足上述條件的最大正數
k
=
(六)
。
7. 如圖，
90
ABC
∠
= °
，
P
為射線
BC
上的動點，且
CBD
∠
為銳角。設
sin
CBD
a
∠
=
，
AP
交
BD
於點
E
，
且
PF
垂直
BD
於點
F
。若
AB
k
=
，
則
AP
PF
−
的最小值為 (七) 。
（以
,
a k
的數學式表示）
<試題結束>